Title Chương 9_Bài 32_ _Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

BÀI 32. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP a) Đạo hàm của hàm số ( *) n y x n =  HĐ1. Nhận biết đạo hàm của hàm số n y x = a) Tính đạo hàm của hàm số 3 y x = tại điểm x bất kì. b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số ( *) n y x n =  . Lời giải a) 2 y x  = 3 b) n 1 y nx −  = Hàm số ( *) n y x n =  có đạo hàm trên và ( ) n n 1 x nx  − = b) Đạo hàm của hàm số y x = HĐ2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y x = tại điểm x  0 . Lời giải Đạo hàm của hàm số y x = tại điểm x  0 là: 1 2 y x  = Hàm số y x = có đạo hàm trên khoảng (0;+) và ( ) 1 2 x x  = . Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y x = tại các điểm x = 4 và 1 4 x = . Lời giải Với mọi x  + (0; ) , ta có 1 2 y x  = . Do đó ( ) 1 1 4 2 4 4 y  = = và 1 1 1 4 1 2 4 y    = =     . 2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG HĐ3. Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số 3 2 y x x = + tại điểm x bất kì. b) So sánh: ( ) 3 2 x x  + và ( ) ( ) 3 2 x x   + . Lời giải a) Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số 3 2 y x x = + tại điểm x bất kì. 2 y x x  = + 3 2 b) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 x x x x    + = +
Giả sử các hàm số u u x = ( ) , v v x = ( ) có đạo hàm trên khoảng (a b; ) . Khi đó (u v u v )  + = +  ; (u v u v )  − = −   ; (uv u v uv )  = +   ; ( ( ) ) 2 0 u u v uv v v x v v      − = =      . Chú ý • Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số. • Với k là một hằng số, ta có: (ku ku )  =  . • Đạo hàm của hàm số nghịch đảo: ( ( ) ) 2 1 0 v v v x v v     = − =      . Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 1 3 2 2 1 3 y x x x = − + + ; b) 2 1 1 x y x + = − . Lời giải a) Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 1 3 y x x x      = − + + 1 2 .3 2 2 3 = − + x x 2 = − + x x2 2 b) Với mọi x 1 , ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 1 x x x x y x   + − − + −  = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 3 1 1 x x x x − − + = = − − − Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Lời giải Phương trình chuyển động của vật là 2 0 1 2 v t gt − . Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi công thức ( ) 0 v t h v gt = = −  . Vật đạt được độ cao cực đại tại thời điểm 0 1 v t g = , tại đó vận tốc bằng v t v gt ( 1 0 ) = − = 0 . Vật chạm đất tại thời điểm 2 t mà h t( 2 ) = 0 nên ta có: 2 0 2 2 2 1 0 0 2 v t gt t − =  = (loại) và 0 2 2v t g = . Khi chạm đất, bận tốc của vật là v t v gt v m s ( 2 0 2 0 ) = − = − = −20 / ( ) . Dấu âm của v t( 2 ) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 / (m s) (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn). Luyện tập 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 1 x y x = + ; b) ( )( ) 2 y x x = + + 1 2 . Lời giải

Nếu hàm số u g x = ( ) có đạo hàm ux  tại x và hàm số y f u = ( ) có đạo hàm u y  tại u thì hàm số hợp y f g x = ( ( )) có đạo hàm x y  tại x là . x u x y y u    = . Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số 2 y x = +1. Lời giải Đặt 2 u x = +1 thì y u = và 1 , 2 2 u x y u x u   = = . Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có: ( ) ( ) 2 2 2 . 2 1 1 x x y u u x x x   = = + + Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là 2 1 x y x  = + . Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x y x x x x   +  = + = = = + + + Luyện tập 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 1 x y x = + ; b) ( )( ) 2 y x x = + + 1 2 . Lời giải a) 10 ( ) (2 3) d y x x dx  = − 9 9 9 10(2 3) (2 3) 10(2 3) 0 . .2 2 (2 3) d x x x x dx = − − = − = − b) 2 ( ) 1 d y x x dx  = − ( ) 1 2 2 2 1 1 d x x dx x = − = − − 4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC a) Đạo hàm của hàm số y x = sin HĐ 5. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y x = sin a) Với h  0 , biến đổi hiệu sin sin ( x h x + −) thành tích. b) Sử dụng đẳng thức giới hạn 0 sin h lim 1 h→ h = và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y x = sin tại điểm x bằng định nghĩa. Lời giải a) sin( ) sin( ) 2cos sin 2cos sin 2 2 2 2 x h x x h x h h x h x x         + + + − + − = = +                 b) Áp dụng định nghĩa, ta có: 0 0 2cos sin sin( ) sin( ) 2 2 ( ) lim lim h h h h x x h x y x → → h h         + + −      = = Chia tử và mẫu cho 2sin 2   h     , ta có: