Title CHUONG 1_CHU DE 2.pdf ✅

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Chủ đề 2 SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. Kiến thức cần nhớ 1. Một số tính chất của tỉ số + Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có 1 1 a b a b    + Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: - Nếu thì a 1 b  a a c b b c    - Nếu thì a 1 b  a a c b b c    - Nếu thì a c b d  a a c c b b d d     2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức + a  a; a  0 + a  b  b  a  b + a b a b 0 a b          + . a  b  a  b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + . a  b  a  b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + . a  b  a  b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  0 hoặc . a  b  0 + Cho các số thực , thế thì hiển nhiên ta có 1 2 n a ,a ,...,a 1 2 n 1 2 n a  a  ...  a  a  a  ...  a + Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi . a b 2 b a   a  b 3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức. Cho tam thức bậc hai với . Khi đó ta viết được 2 f(x)  ax  bx  c a  0 với 2 2 2 b f(x) ax bx c a ax 2a 4a              2   b  4ac Từ đó ta có một số tính chất sau: Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi 2   b  4ac  0 Tính chất 2: Nếu thì . 2   b  4ac  0 af(x)  0 Tính chất 3: Nếu và đa thức có hai nghiệm thì 2   b  4ac  0 x1 ; x2 x1  x2  + af(x)  0 với mọi giá trị . 1 2 x  x  x
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word + af(x)>0 với mọi giá trị hoặc . 1 x  x 2 x  x B. Một số ví dụ minh họa. 1. Sử dụng tính chất của tỉ số. Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a b 1 2a b a 2b     Phân tích: Để ý ta thấy , như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta cần đánh giá được a b 1 a b a b     . a a b b ; 2a b a b 2b a a b       Lời giải Do a, b là các số dương nên ta có 2a  b  a  b; a  2b  a  b Từ đó suy ra a a b b ; 2a b a b 2b a a b       Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a b a b a b 1 2a b 2b a a b a b a b            Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a b c 1 2 a b b c c a        Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép trên ta nhận thấy khó có thể biến đổi tương đương để chứng minh bài toán, ở đây ta cũng không cần phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra. Để ý một chút ta có , như vậy cần đánh giá được . Dễ nhận thấy a b c 1 a b c a b c a b c          a a a b c a b     đánh giá đó hiển nhiên đúng, do đó chỉ cần áp dụng tương tự thì bất đẳng thức bên trái được chứng minh. Để chứng minh được bất đẳng thức bên phải thì ta cần phải đánh giá được , việc này a a c a b a b c      hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ tính chất của tỉ số. Lời giải Do a, b, c là các số dương nên ta có . Vì vậy theo tính chất của tỉ số ta được a 1 a b   a a a c a b c a b a b c         Áp dụng tương tự ta có b b a b c c b c a b c b c a b c a b c c a a b c ,                 Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức kép trên ta được a b c 1 2 a b b c c a        Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Cho a, b, c, d là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b              Lời giải Theo tính chất của tỉ số ta có a a a d 1 a b c a b c a b c d            Mặt khác ta lại có a a a b c a b c d       Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được a a a d a b c d a b c a b c d            Tương tự ta có b b b a a b c d b c d a b c d c c b c a b c d c d a a b c d d d d c a b c d d a b a b c d                                  Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được. a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b              Nhận xét: Để chứng minh các bất đẳng thức ta cần tinh ý sử dụng các tính chất của tỉ số. Ngoài ra các bất đẳng thức trong ở hai ví dụ trên có thể được phát biểu lại như sau: Cho các biểu thức với a, b, c là các số thực dương.                   a b c A a b b c c a a b c d B a b c b c d c d a d a b Chứng minh A, B không thể nhận các giá trị nguyên. Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: a c b d  2 2 a ab cd c b b d d     Phân tích: Để ý ta nhận thấy , đến đây ta áp dụng tính chất của tỉ số để chứng minh 2 2 a c ab cd b d b d    bất đẳng thức. Lời giải Từ suy ra , theo tính chất tỉ số ta được a c b d  2 2 ab cd b d  2 2 2 2 ab ab cd cd c b b d d d      Do đó ta có 2 2 a ab cd c b b d d     Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: