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ALGÈBRE 1 C O U R S D E M AT H É M AT I Q U E S PR E M I E R S E M E S T R E – LMD Université Ferhat Abbas, Sétif 1 Faculté des Sciences Département de Mathématiques Exo7
Sommaire 1 Logique et raisonnements 1 1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Ensembles, applications et relations 12 2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Relation d’Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Structures algébriques 32 3.1 Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Anneaux intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 Anneau de polynômes 54 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Racine d’un polynôme, factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 Annexe : Nombres complexes 69 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Index 78
Logique et raisonnements Chapitre 1 1.1. Motivation • Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure l’as de cœur. Autre exemple : que répondre à la question « As-tu 10 euros en poche ? » si l’on dispose de 15 euros ? • Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d’une fonction est souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une définition peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f : I → R en un point x0 ∈ I : ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I (|x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε). C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C’est la logique. • Enfin les mathématiques tentent de distinguer le vrai du faux. Par exemple « Est-ce qu’une augmentation de 20%, puis de 30% est plus intéressante qu’une augmentation de 50%? ». Vous pouvez penser « oui » ou « non », mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle de raisonnement. Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider — ou d’infirmer — une hypothèse et de l’expliquer à autrui.