Title B. LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN.pdf ✅

Trang 1 Phụ lục: MỘT SỐ BÀI THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TRÊN THẾ GIỚI DÀNH CHO THCS Dưới đây, chúng tôi trích giới thiệu một số bài toán từ các cuộc thi học sinh giỏi toán khắp nơi trên thế giới (dành cho Junior – tương ứng với chương trình THCS nước ta). Nơi đây, chúng tôi chỉ giới thiệu một số bài hợp với kiến thức một học sinh khá giỏi lớp 8, những kiến thức mà hầu như đã được giới thiệu ở các chương trước trong hai tập sách này (ở phần kiến thức mở rộng mỗi chương). Một số bài đã được cải biên cho phù hợp. Tất cả các đề toán đều có phần tiếng Anh nguyên bản, thông qua đó, các bạn sẽ bắt đầu làm quen với các từ vựng tiếng Anh cho môn toán và trau dồi thêm ngoại ngữ. Hi vọng rằng chúng tôi sẽ có dịp giới thiệu các bài toán này một cách đầy đủ hơn trong một cuốn sách riêng biệt nhằm làm tư liệu tham khảo cho bạn đọc. Chúng tôi sẽ sử dụng kí hiệu tên các cuộc thi như sau. AMMC: Cuộc thi Toán hằng năm miền Duyên hải Canada (Annual Maritime Mathematics Competition), được tổ chức trong phạm vi học sinh các trường Trung học tại New Brunswick, Nova Scotia và quần đảo Prince Edward, Canada, với mục đích nuôi dưỡng niềm say mê Toán học, phát triển kĩ năng toán của học sinh. COMC: Cuộc thi Toán được tổ chức hằng năm, bắt đầu từ năm 1996 (vào ngày 27 tháng 12), liên tục được duy trì từ đó đến nay dưới sự đồng tài trợ của Hội Toán học Canada (CMS: Canadian Mathematical Society) và Trung tâm Giáo dục Toán học và Máy tính (CEMC: Centre for Education in Mathematics and Computing). FUWMT: Cuộc thi Toán dành cho học sinh phổ thông mang tên Wylie, được tổ chức bởi Khoa Toán trường Đại học Furman thuộc tiểu bang Nam Carolina, nước Mĩ: Furman University Wylie Mathematics Tournament. (Các bài toán ở đây mang hình thức trắc nghiệm.) IMTT: Cuộc thi Toán học Quốc tế của các Tỉnh thành (International Mathematics Tournament of Towns) do Liên Xô cũ tổ chức vào năm 1979, hiện nay Viện Hàn Lâm Khoa học Nga (Russian Acedemy of Sciences) đảm nhiệm. KOMAL: Cuộc thi giải toán trên tạp chí KOMAL, tạp chí Toán học và Vật Lí của Hungary dành cho học sinh giỏi phổ thông. NDSU:
Trang 2 Cuộc thi mang tên North Dakota Mathematics Talent Search. Đây là cuộc thi nhằm khích lệ phong trào học Toán của học sinh Trung học trong toàn Tiểu bang, nó được phát động và tổ chức bởi Khoa Toán thuộc trường Đại học Tiểu bang Bắc Dakota (North Dakota State University). QAMT: Cuộc thi giải toán QAMT được tổ chức cho tất cả các học sinh ở những trường trung học tại tiểu bang Queensland nước Úc. QAMT là tên viết tắt của Queensland Association of Mathematics Teachers – Hiệp hội các giáo viên Toán học bang Queeensland. (Các bài toán ở đây mang hình thức trắc nghiệm.) SJMC: Cuộc thi Junior Mathematical Challenge do Hội Toán học X-cốt-len (The Scottish Mathematical Council) tổ chức. S-BUN: Cuộc thi toán Mùa Xuân tai Bulgaria (Bun-ga-ry). W-BUN: Cuộc thi toán Mùa Đông tai Bulgaria. WMSETS: Cuộc thi chọn tài năng Toán học Winconsin Mathematics Science & Engineering Talent Search do Khoa Toán, trường Đại học Winconsin – Madison, USA, tổ chức. A. ĐỀ BÀI I. SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ Bài 1. NDSU, 2000 Có một bao đựng 150 hòn bi đen và 75 hòn bi trắng. Một người bốc từ bao ra mỗi lần hai hòn bi một cách ngẫu nhiên. Nếu anh ta bốc được một hòn đen và một hòn trắng, anh ta bỏ lại viên trắng vào bao, cất đi viên đen. Nếu anh ta bốc được hai viên cùng màu, anh ta cất đi cả hai rồi bỏ lại vào bao một hòn đen (giả sử anh ta có nhiều hòn đen ở ngoài đủ để làm chuyện đó nếu cần). Quá trình được lặp lại. Sau cùng, còn đúng một viên bi trong bao, lí do tại sao? Viên bi đó màu gì? A bag contains 150 black marbles and 75 white marbles. A person draws two marbles from the bag. If the drawn marbles are one black and one white, the person replaces the white marble in the bag and discards the black marble. If the two drawn marbles are both the same color, they are discarded and one black marble is placed in the bag (there is an unlimited supply of black marbles). The process is repeated. Eventually there will be just one marble left in the bag (why?). What is its color? Bài 2. NDSU, 2000 Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho là số chính phương, là lập phương của một số 1 2 n 1 3 n nguyên và là lũy thừa 5 của một số nguyên. 1 5 n
Trang 3 Find the smallest positive integer n such that one-half n is a perfect square, one-third n is a perfect cube and one-fifth n is a perfect fifth power. Bài 3. NDSU, 2000 Trong một cuộc xổ số, các vé bán ra mang số đánh theo thứ tự từ 000000 đến 999999 và sau đó lặp lại. Đặc biệt, giải 100 đô-la dành cho các tấm vé có ba chữ số đầu tiên giống ba chữ số sau cùng và có cùng thứ tự như thế. Hỏi nếu một người muốn đảm bảo chắc chắn nhận được một trong các giải 100 đô-la này, anh ta phải mua bao nhiêu tấm vé số? In a lottery the tickets are numbered and sold consecutively numbered with six-digit numbers from 000,000 to 999,999 and then starting over agian. Special $100 prizes are awarded for tickets in which the first three digits are the same and in the same order as the last three digits. How many tickets must one buy to be assured of getting one of these $100 prizes? Bài 4. NDSU, 1999 Winnie và Rabbit dùng một bao đựng 1999 cái kẹo để chơi trò như sau. Mỗi lượt đi, mỗi người lấy đi khỏi bao 1, 2, hoặc 3 cái kẹo. Hễ người nào đi lượt sau cùng (tức không còn kẹo trong bao sau đó) thì người đó thắng cuộc. Có thể nào Winnie chắc chắn thắng cuộc? Nếu có, hãy mô tả chiến lược của Winnie. Winnie-the-Pooh and Rabbit took a bag of 1999 candies to play a mathematical game. Each of them in turn takes 1, 2, or 3 pieces of candy from the bag. The player who takes the last candy from the bag is declared the winner. Can Winnie do anything to be certain of winning this game? Describe what or explain why not. Bài 5. NDSU, 1999 Bill Gates có đúng nửa triệu tờ bạc giấy, gồm các loại: $1, $10, $100, hoặc $1000 (kí hiệu $mđể chỉ m đô-la Mĩ). Hỏi tổng số các giấy bạc này có thể tạo thành số tiền một triệu đô-la được không? Bill Gates has exactly half a million bills, each of which is one of the following denominations: $1, $10, $100, or $1000. Is it possible that these bills add up to exactly one million dollars? Bài 6. NDSU, 2000 Với số nguyên x nào thì ta có ? 2 2 12  x  x 12 For which integer values of x is ? 2 2 12  x  x 12 Bài 7. NDSU, 2000 a) Tổng của ba số nguyên liên tiếp 1, 2, 3 bằng tích của chúng . Tìm 1 2  3 1 23  6 tất cả những bộ ba các số nguyên liên tiếp thỏa mãn tính chất này (có tổng bằng tích). b) Có một bộ bốn số nguyên liên tiếp nào thỏa mãn tính chất trên hay không? Cũng hỏi như thế với bộ năm số nguyên liên tiếp. Nếu có, hãy tìm tất cả các bộ như thế.
Trang 4 a) The sum of the three consecutive integers 1, 2 and 3 is equal to their product: 1 2  3 1 23  6 . Find all other sets of three consecutive integers with the same property (i.e., that their sum is equal to thier product). b) Are there any sets of four consecutive integers with the same property? How many sets of five consecutive integers have that property? Be sure to support your answers with explanations. Bài 8. NDSU, 1998 Trong mỗi ô của một bàn cờ tôi 88 muốn viết các số -1, 0, hoặc 1. Tôi có thể viết các số như thế lên các ô để cho tổng các số trên một hàng, trên một cột, trên hai đường chéo đều là các số khác nhau (từng đôi một) được không? Giải thích cho câu trả lời. In each square of an 8 by 8 checkerboard I want to write either -1, 0, or 1. Can I do this in such a way that the sums of numbers along individual rows, columns, and long diagonals are all different? Support your answer. Bài 9. NDSU, 1998 Khai triển và đơn giản:       1 2 2 2 4 2 2 1 1 1 ... 1 . r r x x x x x x x x          Expand and simplify:       1 2 2 2 4 2 2 1 1 1 ... 1 . r r x x x x x x x x          Bài 10. NDSU, 1998 Tổng của một số hữu hạn các số nguyên là số chia hết cho 6. Chứng minh rằng tổng các lập phương của những số này cũng chia hết cho 6. The sum of several integers is divisible by 6. Show that the sum of their cubes is also divisible by 6. Bài 11. NDSU, 1998 Một số nguyên có thể có thể hoặc không thể biểu diễn được thành hiệu của hai số bình phương (chẳng hạn, ). 2 2 21  5  2 a) Chứng minh rằng các số lẻ là hiệu của hai bình phương. b) Các số nguyên chẵn nào có thể biểu diễn được thành hiệu của hai số bình phương? Some integers can be represented as the difference of two squares (e.g., )-others cannot. 2 2 21  5  2 a) Show that every odd numbers is the difference of two squares. b) Which even integers can be represented as the difference of two squares? Bài 12. WMSETS, 2000 – 2001 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho là số chính phương. 4 3 n  n 1 Find all positive integers n such that the quantity is a square number. 4 3 n  n 1 Bài 13. WMSETS, 2000 – 2001