Title Pembahasan SMP Matematika - SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024.pdf ✅

Page 1 of 14 BIDANG : MATEMATIKA SMP SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 1. (Operasi bilangan bulat, rasional, akar, serta bilangan berpangkat dan sifat-sifatnya.) Bentuk sederhana dari √6 + 4√17 + 6√8 adalah .... a. 4 + √2 b. 6 + √2 c. √6 + 2√3 d. 2 + 2√2 Jawaban: A Pembahasan √6 + 4√17 + 6√8 = √6 + 4√9 + 8 + 2√9√8 = √6 + 4(√9 + √8) = √6 + 4(3 + 2√2) = √6 + 12 + 2√16√2 = √16 + 2 + 2√16√2 = √16 + √2 = 4 + √2. (A) 2. (Operasi bilangan bulat, rasional, akar, serta bilangan berpangkat dan sifat-sifatnya.) Diantara 4 bilangan berikut ini, yang nilainya paling besar adalah .... a. 20242025 b. 20252024 c. 3 3 3 3 d. 2 3 + 4 3 + 6 3 + ⋯ + 20243 Jawaban: C Pembahasan 3 3 3 3 = 3 3 25 = (3 9 ) 3 25 = 196833 25 Jelas ini lebih dari 20242025 dan 20252024 . Lalu 2 3 + 4 3 + 6 3 + ⋯ + 20243 < 1012 × 20243 < 20244 < 20242025 . Jadi, yang terbesar adalah 3 3 3 3 . (C) 3. (FPB dan KPK) Misalkan d = FPB(68, 102, 646), dan k = KPK(24, 36, 48). Nilai dari d + k adalah .... a. 146 b. 161 c. 178 d. 322 Jawaban: C Pembahasan
Page 2 of 14 BIDANG : MATEMATIKA SMP SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA d = FPB(68, 102, 646) = FPB(2 ⋅ 34, 3 ⋅ 34, 19 ⋅ 34) = 34. k = KPK(24, 36, 48) = KPK(2 ⋅ 12, 3 ⋅ 12, 4 ⋅ 12) = 12 ⋅ KPK(2,3,4) = 12 ⋅ 12 = 144. Jadi, d + k = 34 + 144 = 178. (C) 4. (Basis Bilangan) Bilangan 2024 jika dinyatakan dalam basis n menjadi 1580. Nilai dari n adalah .... a. 9 b. 11 c. 12 d. 13 Jawaban: B Pembahasan 2024 = n 3 + 5n 2 + 8n = n(n 2 + 5n + 8) Didapat n|2024 = 2 3 ⋅ 11 ⋅ 23. Jika dilihat dari pilihan, satu-satunya kemungkinan adalah 11. Cek 113 + 5 ⋅ 112 + 8 ⋅ 11 = 2024 benar. Jadi, n = 11. (B) 5. (Sisa pembagian) Misalkan K = (20242 + 20252 + 2024 ⋅ 4050) 2 . Sisa dari K dibagi 17 adalah .... a. 1 b. 9 c. 13 d. 16 Jawaban: C Pembahasan K = (20242 + 20252 + 2 ⋅ 2024 ⋅ 2025) 2 = ((2024 + 2025) 2 ) 2 = 40494 ≡ 3 4 mod 17 ≡ 81 mod 17 ≡ 13 mod 17. (C) 6. (Sisa pembagian) Perhatikan barisan 2, 2, 4, 6, 3, 2, 5, . . .. Untuk n > 2, suku ke−n barisan ini adalah sisa ketika dibagi 7 dari jumlah dua suku sebelumnya. Nilai dari suku ke−2024 adalah .... a. 0 b. 3 c. 4 d. 6 Jawaban: A Pembahasan Barisannya berlanjut sebagai berikut 2, 2, 4, 6, 3, 2, 5, 0, 5, 5, 3, 1, 4, 5, 2, 0, 2, 2, ... dan dari sini polanya berulang. Periodenya dapat dihitung 16. Karena 2024 = 126 × 16 + 8, suku tahun 2024 sama dengan suku ke−8 yaitu 0. (A) 7. (Pengertian, notasi, dan operasi himpunan) Misalkan X, Y, Z adalah himpunan beberapa orang yang tidak saling beririsan. Perhatikan tabel berikut: Himpunan X Y Z X ∪ Y X ∪ Z Y ∪ Z Rata-rata usia orang- orang dalam himpunan 37 23 41 29 39,5 33
Page 3 of 14 BIDANG : MATEMATIKA SMP SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA Rata-rata usia orang-orang dalam himpunan X ∪ Y ∪ Z adalah .... a. 33 b. 33,5 c. 33 2 3 d. 34 Jawaban: D Pembahasan Misalkan banyaknya anggota X, Y, Z berturut-turut adalah x, y, z. Total usia orang-orang dalam himpunan X, Y, Z berturut-turut adalah 37x, 23y, 41z. 29 = 37x + 23y x + y ⇒ 29x + 29y = 37x + 23y ⇒ 8x = 6y ⇒ y = 4 3 x. 39,5 = 37x + 41z x + z ⇒ 39,5y + 39,5z = 37x + 41z ⇒ 1,5z = 2,5x ⇒ z = 5 3 x. 33 = 23y + 41z y + z ⇒ 33y + 33z = 23y + 41z ⇒ 10y = 8z ⇒ y = 4 5 z. Jadi, rata-rata usia orang-orang dalam himpunan X ∪ Y ∪ Z adalah 37x + 23y + 41z x + y + z = 37x + 23 ⋅ 4 3 x + 41 ⋅ 5 3 x x + 4 3 x + 5 3 x = 111 + 92 + 205 3 + 4 + 5 = 34. (D) 8. (Relasi dan Fungsi) Diberikan fungsi f(x) = x 1−x untuk semua bilangan real x ≠ 1. Nilai dari 2024 − 4048 ⋅ f(2024) − f(2024) 4048 + 6072 ⋅ f(2024) − 2 ⋅ f(2024) adalah .... a. −3 b. 2 c. 3 5 d. − 1 5 Jawaban: A Pembahasan Perhatikan bahwa (1 − x) ⋅ f(x) = x ⇒ f(x) − xf(x) = x ⇒ f(x) − x = xf(x). Sehingga 2024 − 4048 ⋅ f(2024) − f(2024) 4048 + 6072 ⋅ f(2024) − 2 ⋅ f(2024) = 2024 − f(2024) − 2 ⋅ 2024 ⋅ f(2024) 2(2024 − f(2024)) + 3 ⋅ 2024 ⋅ f(2024) = −2024f(2024) − 2 ⋅ 2024f(2024) −2 ⋅ 2024f(2024) + 3 ⋅ 2024f(2024) = −3 ⋅ 2024f(2024) 2024f(2024) = −3. (A) 9. (Relasi dan Fungsi) Diberikan fungsi parabola f(x) = x 2 + 2(m + 5)x + 100m − 775, untuk suatu bilangan asli m. Jika hanya terdapat 1 bilangan real r sehingga f(r) = 0, maka nilai terkecil m adalah .... a. 5 b. 10 c. 20 d. 80
Page 4 of 14 BIDANG : MATEMATIKA SMP SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA Jawaban: B Pembahasan f(r) = r 2 + 2(m + 5)r + (m + 5) 2 − m2 + 90m − 800 = f(r) = (r + m + 5) 2 − (m2 − 90m + 800) Agar tepat 1 bilangan real r yang memenuhi f(r) = 0, haruslah m2 − 90m + 800 = 0(m − 10)(m − 80) = 0. Didapat m = 10 atau m = 80. Jadi, nilai terkecil m adalah 10. (B) 10. (Perbandingan senilai dan berbalik nilai) Gambar di bawah ini menunjukkan segi lima (terdiri dari daerah A dan daerah B) dan persegi panjang (terdiri dari daerah B dan daerah C) yang tumpang tindih. Daerah B yang tumpang tindih adalah 5 12 segi lima sekaligus 4 9 persegi panjang. Jika perbandingan daerah A dari segi lima dengan daerah C dari persegi panjang adalah m n , dengan m dan n adalah bilangan asli yang relatif prima, maka nilai dari m + n adalah .... a. 41 b. 43 c. 51 d. 53 Jawaban: D Pembahasan Misalkan luas segi lima dan persegi panjang masing-masing adalah L dan P. 5 12 L = 4 9 P ⇒ 15L = 16P. Misalkan L = 16x, P = 15x. Jadi, m n = 7 12 L 5 9 P = 7 12 ⋅ 16x 5 9 ⋅ 15x = 28 25 ⇒ m + n = 28 + 25 = 53. (D) 11. (Operasi aljabar melibatkan bilangan rasional, bilangan berpangkat, bilangan berbentuk akar) Bentuk sederhana dari bx(a 2x 2 + 2a 2y 2 + b 2y 2 ) + ay(a 2x 2 + 2b 2x 2 + b 2y 2 ) bx + ay adalah .... a. a 2x 2 + b 2y 2 b. (ax + by) 2 c. (ax + by)(ay + bx) d. 2(a 2x 2 + b 2y 2 ) Jawaban: C