Title °TD MESURES ET PROBABILITÉS FSDM FES 21 22 SMA5.pdf ✅

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Année 2021/2022 Faculté des Sciences Dhar El Mahraz Filière SMA, S5 Département de Mathématiques Mesure & Probabilités Recueil d'exercices corrigés de Mesure et Probabilités Pr. Youssef AKDIM et Pr. Hassane ZGUITTI Année Universitaire 2021-2022
Table des matières 1 Espaces mesurables 3 2 Mesure positive 15 3 Applications mesurables 23 2
Chapitre 1 Espaces mesurables Exercice 1.1 Soient X un ensemble quelconque non vide et P(X) la classe de toutes les parties de X. Montrer que X et P(X) n'ont jamais la même cardinalité. Déduire que P(N) n'est pas dénombrable. Supposons le contraire. Alors il existe une application bijective f : X → P(X). On signale que pour tout x ∈ X, f(x) est une partie de X. Soit A = {x ∈ X / x /∈ f(x)}. On a A ∈ P(X) et f est bijective, alors il existe un x0 ∈ X tel que f(x0) = A. • Si A = ∅, alors x0 ∈/ A. Donc d'après la construction de A, x0 ∈ f(x0) = A. Ce qui est impossible. • Si A 6= ∅. Alons on a deux cas, ou bien x0 ∈ A ou bien x0 ∈ A c (car X = A ∪ A c ). Si x0 ∈ A, alors d'après la dénition de A, x0 ∈/ f(x0) = A. Absurde. Si x0 ∈ A c , alors x0 ∈ f(x0) = A, ce qui est impossible. D'où card(X) < card(P(X)). En particulier, si X = N, alors card(N) < card(P(N)) et donc P(N) n'est pas dénombrable. Exercice 1.2 Soient E un ensemble quelconque non vide et (An)n≥0 ⊂ P(E), on pose lim inf An := [∞ n=0 \∞ k=n Ak et lim sup An := \∞ n=0 [∞ k=n Ak. 3
Chapitre 1. Espaces mesurables 1) Soit A ∈ P(E), montrer que a) lim inf An = A ⇐⇒ lim inf 1An = 1A. b) lim sup An = A , ⇐⇒ lim sup 1An = 1A. c) lim inf An = lim sup An = A ⇐⇒ lim 1An = 1A. 2) Prouver que pour deux suites (An)n≥0 et (Bn)n≥0 de parties de E, on a a) lim sup(An ∩ Bn) ⊂ lim sup An ∩ lim sup Bn. b) lim sup(An ∪ Bn) = lim sup An ∪ lim sup Bn. On commence d'abord par quelques propriétés de la limite inf et la limite sup : • x ∈ lim inf An ⇐⇒ x ∈ [∞ n=0 \∞ k=n Ak ⇐⇒ ∃n0 ≥ 0, x ∈ \∞ k=n0 Ak ⇐⇒ ∃n0 ≥ 0, ∀k ≥ n0, x ∈ Ak ⇐⇒ à partir d'un certain rang, x appartient à tous les An. • x ∈ lim sup An ⇐⇒ x ∈ \∞ n=0 [∞ k=n Ak ⇐⇒ ∀n ≥ 0, x ∈ [∞ k=n Ak ⇐⇒ ∀n ≥ 0, ∃k ≥ n, x ∈ Ak ⇐⇒ x appartient à une innité des An. • \∞ n=0 An ⊆ lim inf An ⊆ lim sup An ⊆ [∞ n=0 An. En eet, la première inclusion et la troisième inclusion sont claires. Pour la deuxième inclusion, si x ∈ lim inf An, alors à partir d'un certain rang, x appartient à tous les An. Donc x appartient à une innité des An. Par conséquent x ∈ lim sup An. (On peut utiliser la dénition des deux limites). • Si la suite (An)n≥0 est croissante, alors lim An = [∞ n=0 An. En eet, on a toujours lim inf An ⊆ lim sup An ⊆ [∞ n=0 An. Etant donné que la suite (An)n≥0 est croissante, alors pour chaque n ≥ 0, Mesure et Probabilités, 2021/22 -4- Pr. Akdim et Pr. Zguitti