Title Bài 18_Lũy thừa với số mũ thực_Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

CHƯƠNG VI: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGA BÀI 18: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Cho n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa: Với a là số thực tuỳ ý: thua so? . n n a a a a =  Với a là số thực khác 0 : 0 1 1; . n n a a a − = = - Trong biểu thức m a , a gọi là cơ số, m gọi là số mũ. Lưu ý: 0 0 và ( ) * 0 n n −  không có nghĩa. Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương. Với a b   0, 0 và mn, là các số nguyên, ta có: ( ) ; ; ( ) . m m n m n m n n n m mn m m m m m m a a a a a a a a ab a b a a b b + −  = = = =     =   Chú ý - Nếu a 1 thì m n a a  khi và chỉ khi m n  . - Nếu 0 1   a thì m n a a  khi và chỉ khi m n  . Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: 8 1 2 4 2 8 (0,2) 25 2 A −   − − − =  +      Lời giải 8 8 2 2 4 2 6 4 4 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 1 5. 8 0,2 25 2 0,2 5 (0,2 5) A =  +  =  + = + = + =   Luyện tập 1: Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu .10m x a = , ở đó 1 10   a và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học: a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg; b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67262 kg . (Theo SGK Vật lí 12, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2020) Lời giải a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 24 5.98 10 kg  . b) Khối lượng của hạt proton khoảng 27 1.67262 10 kg −  . 2. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ Cho số thực a và số nguyên dương n . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu n b a = .
Nhận xét. Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là n a . Căn bậc 1 của số a chính là a . Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là n a (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là - a . ( ) * 0 0 n = n . ? Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao? Ví dụ 2: a) 3 −64 ; b) 4 1 16 . Lời giải a) 3 3 3 − = − = − 64 ( 4) 4 . b) 4 4 4 1 1 1 16 2 2   = =     . Luyện tập 2. Tính: a) 3 −125 ; b) 4 1 81 . Lời giải a) 3 3 3 − = − = − 125 ( 5) 5 ; b) 4 4 4 1 1 1 81 3 3   = =     Giả sử nk, là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó: ; ( ) ; khi ? | | khi chan; . n n n n n n m n m n n n k nk a b ab a a b b a a a nle a a n a a  = = =  =   = (Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa). Ví dụ 3. Tính: a) 5 5 4 8  − ; b) 3 −3 3 . Lời giải a) ( ) 5 5 5 5 5 4 8 4 8 32 ( 2) 2 5  − =  − = − = − = − . b) 3 3 3 3 3 − = − = − = − 3 3 ( 3) ( 3) 3 . Luyện tập 3. Tính: a) 3 3 5 : 625 ; b) 5 −25 5 . Lời giải 3 3 3 3 5 1 1 ) 5 : 625 625 125 5 a = = = 5 5 4 5 5 b) 25 5 5 .5 5 5 − = − = − = − Cho số thực a dương và số hữu tỉ m r n = , trong đó m là một số nguyên và n là số nguyên dương.
Luỹ thừa của a với số mũ r , kí hiệu là r a , xác định bởi m r m n a a a = = . ? Vì sao trong định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a  0 ? Chú ý. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1. Ví dụ 4. Tính: a) 3 2 16 ; b) 2 3 8 − . Lời giải a) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 2 3 3 16 16 4 4 4 64 = = = = = b) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 3 2 2 3 3 1 8 8 2 2 2 4 − − − − − = = = = = . Luyện tập 4. Rút gọn biểu thức: 3 3 2 2 ( , 0) x y xy A x y x y + =  + . Lời giải ( ) 3 3 2 2 y xy A y x x x y y y x x + − = = +  + + 3. LUỸ THỪA VỚl SỐ MŨ̃THỰC a) Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực HĐ 5. Nhận biết luỹ thừa với số mũ thực Ta biết rằng 2 là một số vô tỉ và 2 1,4142135624 =  Gọi (rn ) là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số 2 , với 1 r =1 ; 2 3 4 r r r = = =  1,4; 1,41; 1,4142; a) Dùng máy tÍnh cầm tay, hãy tính: 1 2 4 3 3 ;3 ;3 ;3 r r r r và 2 3 . b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa 2 3 và 3 n r , tức là 2 3 3 n r − , khi n càng lớn? Lời giải 1 2 3 4 1 1,4 1,41 1,4142 2 1,4142135624 a) 3 3 3; 3 3 4.8688 3 3 4.9151; 3 3 4.9208 3 3 4.9210 r r r r = = =  =  =  =  b) Sai số tuyệt đối giữa 2 3 và 3 n r là: 2 2 2 3 3 3 1 3 n n r r − − =  − Vì n r là một dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ 2 , nên khi n tiến đến vô cùng, n r sẽ xấp xỉ 2 và 2 n r − tiến đến 0 . Do đó, ta có: 2 2 2 2 2 lim 3 3 lim 3 1 3 3 .lim1 3 n n n r r r n n n    − − → → → − =  − = − Vậy khi n tiến đến vô cùng, sai số tuyệt đối giữa 2 3 và 3 n r tiến đến 0 , tức là 3 n r xấp xỉ 2 3 với độ chính xác cao hơn khi n càng lớn. lim 2 n n r →+ = Cho a là số thực dương và  là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ (rn ) mà lim n n r   →+ = . Khi đó, dãy số ( ) n r a có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ (rn ) đã chọn. Giới hạn đó gọi là luȳ thừa của a với số mũ  , kí hiệu là a  .
lim n r n a a  →+ = Chú ý. Luỹ thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1. Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức: ( ) 5 1 3 5 3 1 3 1 ( 0) a a A a a − − − +  =  . Lời giải ( ) ( )( ) 5 1 3 5 5 1 3 5 2 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 1. a a a a a A a a a a − − − + − − − + − +  = = = = = Ví dụ 6. Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các số 3 8 và 2 3 4 . Lời giải Ta có: ( ) 3 3 3 3 3 8 2 2 = = và ( ) 2 3 2 3 2 4 3 4 2 2 = = . Vì 3 3 4 3  và 2 1  nên 3 3 4 3 2 2  . Vậy 3 2 3 8 4  . Luyện tập 5. Rút gọn biểu thức: ( ) 1 2 2 1 5 1 3 5 ( 0) a A a a a + − − − =   . Lời giải Rút gọn tử số: ( 2 1 1 2 2 1 2 1 2 )( ) ( ) ( ) 3 2 2 a a a − + − + − − = = Rút gọn mẫu số: 4 4 5 4 5 5 a a a a a − − =  = Kết hợp với kết quả ở trên, ta có: 3 2 2 4 5 5 3 2 2 a A a a a − = = − + Ta đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số. Vận dụng: Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Lời giải Sau 1 kì hạn 12 tháng, số tiền bác Minh nhận được là: 1 (1 ) 100,000,000(1 0.06) 106,000,000 N A P r = + = + = Sau 2 kì hạn 12 tháng, số tiền bác Minh nhận được là: 1 (1 ) 106,000,000(1 0.06) 112,360,000 N A P r = + = + = Sau 3 kì hạn 12 tháng, số tiền bác Minh nhận được là: 1 (1 ) 112,360,000(1 0.06) 119,101,600 N A P r = + = + = Vậy, số tiền bác Minh thu được sau 3 năm là 119,101,600 đồng. b) Tính luỹ thừa với số mũ thực bà̀ng máy tính cầm tay Có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính căn bậc n và luỹ thửa với số mũ thực.