Title CHỦ ĐỀ 1. BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ.doc ✅

CHỦ ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ I. CĂN THỨC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Căn thức bậc hai  Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2xa .  Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng :a 2 00ax xaax       Với hai số thực không âm ,ab ta có: .abab  Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: + 2A AA A    nếu 0 0 A A   + 2 ABABAB với 2 ,0;ABABABAB với 0;0AB + 2 ..AABAB BBB với 0,0ABB + .MMA AA với 0;A (Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) + MABM ABAB    với ,0,ABAB (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu) 2. Căn thức bậc ba, bậc n a. Căn thức bậc 3 Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3a là số x sao cho 3xa  Cho 3333;aRaxxaa  Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.  Nếu 0a thì 30.a  Nếu 0a thì 30.a  Nếu a0 thì 30.a  3 3 3 aa bb với mọi 0.b  333.abab với mọi ,.ab  33.abab  333.ABAB  32 3AAB BB với 0B  3 3 3 AA BB  33223 33 1AABB ABAB    ∓ với .AB
b. Căn thức bậc n Cho số ,,2.annℝℕ Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng .a  Trường hợp n là số lẻ: 21,nkkN Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2121 .kkaxxa nếu 0,a thì 210,ka nếu 0a thì 210,ka nếu 0a thì 210ka  Trường hợp n là số chẵn: 2,.nkkN Mọi số thực 0a đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2ka (gọi là căn bậc 2k số học của ).a Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 22,0kkaaxx và 2;kxa 2 0kaxx và 2.kxa II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU Dạng 1: Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị các biểu thức. Phương pháp: Biến đổi các biểu thức trong dấu về dạng 2 AA sau đó dựa vào dấu của A để mở dấu giá trị tuyệt đối nếu có. Ngoài ra cần nắm được các đẳng thức cơ bản quen thuộc:  22;abbccamamaabbccaabac  ;abcnnabcabcabcabac  Với 1abc thì 111 1; 11aabbbccaca   Nếu 0abc thì 2 333 222 111111 3,abcabc abcabc     với 0.abc Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức: a. 1 4Axxx khi 0.x b. 42414241Bxxxx khi 1 . 4x c. 9535810743C Lời giải: a. 2 111 422Axxxxxxx    + Nếu 11 24xx thì 111 . 222xxA + Nếu 11 0 24xx thì 111 2. 222xxAx b. 42414241412411412411BxxxxBxxxx Hay 22411411411411411411Bxxxxxx + Nếu 1 4110411 2xxx thì 411411xx suy ra 241.Bx + Nếu 11 4110411 42xxx thì 411411xx suy ra 2.B
c. Để ý rằng: 27432374323 Suy ra 9535810(23)953528103C 2953553. Hay 9535(53)9259542.C Ví dụ 2. Chứng minh: a. Tính 843843A b. 338484 11 99B là một số nguyên (Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006). c. Chứng minh rằng: 33181181 3333 aaaa xaa  với 1 8a là số tự nhiên. d. Tính xy biết 22201920192019.xxyy e. Cho các số thực ,xy thỏa mãn: 22111.xyyx Tính giá trị của .xy Lời giải: a. Dễ thấy 0,A Cách 1: Ta có 2 2 8438438438432843.843162.48A   Suy ra 822.A Cách 2: Ta viết lại 2262626262626222.A b. Áp dụng hằng đẳng thức: 3333().uvuvuvuv Ta có: 3 3 338484 11 99B     3333848484848484 1131.11.1 999999     Hay 3333 3 3 848484 2311..BB231220 9981BBBBBB    2120BBB mà 2 217 20 24BBB    suy ra 1.B Vậy B là số nguyên. c. Áp dụng hằng đẳng thức: 3333uvuvuvuv Ta có 3322122120120xaaxxaxaxxxa (1) Xét đa thức bậc hai 22xxa với 180a + Khi 1 8a ta có 3311 1. 88x
+ Khi 1 , 8a ta có 18a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất 1.x Vậy với mọi 1 8a Ta có: 33181181 1 3333 aaaa xaa  là số tự nhiên. d. Nhận xét: 22222019201920192019.xxxxxx Kết hợp với giả thiết ta suy ra 2220192019xxyy 2222 20192019201920190.yyxxxxyyxy Tổng quát ta có: 22xaxyaya thì 0.xy e. Nhân 2 vế đẳng thức với: 2211xyyx ta có:     222222 22222222 22222222 22 22222222 111111. 111111. 11221111. 12211121211. xyxyyxyxxyyx xyyxxyxxyyxy xyyxxyxyxyyx xyxyxyxyxyxy     Hay 22222222121111xyxyxyxyxyxyxyxy Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 20xyxy hay 0.xy Ví dụ 3. a. Cho 4102541025.x Tính giá trị biểu thức: 432 2 4612 . 212 xxxx P xx    b. Cho 312.x Tính giá trị của biểu thức 4432231942.Bxxxx (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 – 2016). c. Cho 33124.x Tính giá trị biểu thức: 5432422015.Pxxxxx Lời giải: a. Ta có: 2 2 41025410258241025.41025x    22282625825162551x 51.x Từ đó suy ra 221544.xxx Ta biến đổi: 2222 2 22212 43.412 1. 412212 xxxx P xx     b. Ta có 332312123330.xxxxx Ta biến đổi biểu thức P thành: 2323232 (333)(333)(333)19451945Pxxxxxxxxxxx c. Để ý rằng: 323221x ta nhân thêm 2 vế với 321 để tận dụng hằng đẳng thức: 3322 ()().ababaabb Khi đó ta có: 323332121221x