Title Pembahasan SMA Matematika - Hardiknas Offline 2024.pdf ✅

Page 1 of 20 BIDANG : MATEMATIKA SMA OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMA OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS OFFLINE 1. (Identitas Aljabar) – Mudah Diberikan bilangan real a, b, c, dan d sehingga memenuhi sistem persamaan {2ab + a + b = 2 2bc + b + c = 1 2cd + c + d = 4. Nilai dari 2ad + a + d adalah ... a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11 Jawaban: A Pembahasan: Kalikan persamaan pertama dengan 2 lalu ditambah 1, diperoleh 5 = 4ab + 2a + 2b + 1 = (2a + 1)(2b + 1). Dengan cara yang sama, didapat (2b + 1)(2c + 1) = 3 dan (2c + 1)(2d + 1) = 9. Kalikan semua persamaan di atas, didapat (2a + 1)(2b + 1)(2b + 1)(2c + 1)(2c + 1)(2d + 1) = 5 ⋅ 3 ⋅ 9 ⇒ (2a + 1)(2d + 1)((2b + 1)(2c + 1)) 2 = 5 ⋅ 3 ⋅ 9 ⇒ (2a + 1)(2d + 1) ⋅ 3 2 = 5 ⋅ 3 ⋅ 9 ⇒ 4ad + 2a + 2d + 1 = 15 ⇒ 4ad + 2a + 2d = 14 ⇒ 2ad + a + d = 7. Dengan demikian, nilai dari 2ad + a + d adalah 7. 2. (Barisan Aritmetika) – Mudah Diketahui 24 bilangan asli a1, a2, a3, ... , a24 membentuk barisan aritmetika dengan a11 = 145 dan a2 + a4 + a6 + ⋯ + a24 = 2028. Nilai dari a2024 adalah ... a. 22358 b. 24301 c. 25874 d. 28593 e. 29005 Jawaban: B Pembahasan: Misalkan an = a1 + (n − 1)b merupakan suku ke-n barisan aritmetika tersebut dengan a1 menyatakan suku pertama dan b menyatakan beda setiap suku. Tinjau bahwa 2028 = a2 + a4 + a6 + ⋯ + a24 = 12 2 (a1 + b + a1 + 23b) = 6 ⋅ 2(a1 + 12b) ⇒ a1 + 12b = 2028 12 = 169. Karena a11 = 145, didapat a1 + 10b = 145. Akibatnya, diperoleh 2b = 169 − 145 = 24 atau b = 12 sehingga a1 = 145 − 10 ⋅ 12 = 145 − 120 = 25. Dengan demikian, diperoleh a2024 = 25 + 2023 ⋅ 12 = 24301.
Page 2 of 20 BIDANG : MATEMATIKA SMA OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA 3. (Barisan Geometri) – Mudah Diketahui tiga bilangan membentuk barisan geometri dengan jumlah 42 dan rasio r lebih dari 1. Jika suku ketiga dikurangi 6, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika dengan beda b. Nilai dari 20b + 24r adalah ... a. 129 b. 145 c. 168 d. 188 e. 203 Jawaban: C Pembahasan: Misalkan ketiga bilangan tersebut dengan a, ar, ar 2 dengan r > 1. Dari soal, didapat barisan a, ar, ar 2 − 6 merupakan barisan aritmetika sehingga 2ar + 6 = ar 2 + a. Selain itu, a + ar + ar 2 = 42 ⇒ 2ar + 6 + ar = 42 ⇒ 3ar = 36 ⇒ ar = 36 3 = 12. Akibatnya, a + ar 2 = 2ar + 6 = 2 ⋅ 12 + 6 = 24 + 6 = 30 sehingga a + ar 2 = 30 ⇒ 12 r + 12r = 30 ⇒ 12r 2 − 30r + 12 = 0 ⇒ 2r 2 − 5r + 2 = 0 ⇒ (2r − 1)(r − 2) = 0 ⇒ r = 2. Jadi, diperoleh a = 12 r = 12 2 = 6 sehingga barisan aritmetika yang terbentuk adalah 6,12,18 yang memberikan b = 6. Dengan demikian, diperoleh 20b + 24r = 20 ⋅ 6 + 24 ⋅ 2 = 120 + 48 = 168. 4. (Ketaksamaan) – Mudah Diberikan bilangan real a dan b sehingga ab = 4. Nilai minimum dari a 8 + b 8 adalah ... a. 216 b. 324 c. 455 d. 512 e. 680 Jawaban: D Pembahasan: Berdasarkan ketaksamaan AM-GM, didapat a 8 + b 8 ≥ 2√a 8b 8 = 2a 4b 4 = 2(ab) 4 = 2 ⋅ 4 4 = 2 ⋅ 2 8 = 2 9 = 512. Kesamaan tercapai saat a = b = 2. Dengan demikian, nilai minimum dari a 8 + b 8 adalah 512. 5. (Barisan Rekursif) – Mudah Diberikan barisan bilangan bulat (an ) dengan a0 = −24 dan untuk setiap n ≥ 1, berlaku an−1an + 800n = anan+1 + 960. Jika a2 merupakan bilangan kuadrat, maka jumlahan digit-digit a2024 adalah ... a. 10 b. 12 c. 15
Page 3 of 20 BIDANG : MATEMATIKA SMA OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA d. 17 e. 19 Jawaban: E Pembahasan: Tinjau bahwa an−1an + 800n = anan+1 + 960 ⇒ a0a1 + 800 = a1a2 + 960 ⇒ a1 (a0 − a2 ) = 960 − 800 ⇒ a1 (−24 − a2 ) = 160 ⇒ a1 = − 160 a2 + 24. Karena a1 merupakan bilangan bulat, haruslah (a2 + 24) ∣ 160. Karena a2 merupakan bilangan kuadrat, haruslah a2 + 24 > 24 sehingga a2 + 24 ∈ {32,40,80,160}. ● Jika a2 + 24 = 32, maka a2 = 32 − 24 = 8, bukan bilangan kuadrat. ● Jika a2 + 24 = 40, maka a2 = 40 − 24 = 16 = 4 2 . ● Jika a2 + 24 = 80, maka a2 = 80 − 24 = 56, bukan bilangan kuadrat. ● Jika a2 + 24 = 160, maka a2 = 160 − 24 = 136, bukan bilangan kuadrat. Dengan demikian, a2 = 16 sehingga a1 = − 160 a2 + 24 = − 160 16 + 24 = − 160 40 = −4. Jadi, diperoleh a0 = −24, a1 = −4, dan a2 = 16. Perhatikan bahwa ketiga bilangan ini membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama −24 dan beda 20. Akibatnya, suku ke- n barisan (an ) adalah an = −24 + (n − 1) ⋅ 20 = 20n − 20 − 24 = 20n − 44 untuk setiap n ≥ 0. Dengan demikian, diperoleh a2024 = 20 ⋅ 2024 − 44 = 40456 sehingga jumlahan digit-digitnya adalah 4 + 0 + 4 + 5 + 6 = 19. 6. (Polinom dan Akar Polinom) – Mudah Diberikan polinomial P(x) sehingga (x + 7)P(2x) = 8xP(x + 1) dan P(1) = 1. Nilai dari P(15) adalah ... a. 158 b. 196 c. 255 d. 302 e. 391 Jawaban: C Pembahasan: Misalkan P berderajat n dan koefisien pangkat tertingginya adalah k, diperoleh koefisien pangkat tertinggi ruas kiri adalah 2 nk dan koefisien pangkat tertinggi ruas kanan adalah 8k sehingga didapat 2 nk = 8k ⇒ 2 n = 8 ⇒ 2 n = 2 3 ⇒ n = 3. Selanjutnya, tinjau bahwa P(x) = xQ(x) untuk suatu polinomial Q. Substitusikan P(x) = xQ(x) ke persamaan pada soal, didapat 2x(x + 7)Q(2x) = 8x(x + 1)Q(x + 1) ⇒ (x + 7)Q(2x) = 4(x + 1)Q(x + 1). Akibatnya, Q(x) = (x + 2)R(x) untuk suatu polinomial R. Substitusikan Q(x) = (x + 2)R(x) ke persamaan di atas, didapat 2(x + 1)(x + 7)R(2x) = 4(x + 1)(x + 3)R(x + 1)
Page 4 of 20 BIDANG : MATEMATIKA SMA OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA ⇒ (x + 7)R(2x) = 2(x + 3)R(x + 1). Akibatnya, R(x) = (x + 6)S(x) untuk suatu polinomial S. Jadi, P(x) = x(x + 2)(x + 6)S(x). Karena P merupakan polinomial berderajat 3, haruslah S(x) = t untuk suatu bilangan real tak nol t. Karena P(1) = 1, haruslah 1 = 1 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ S(x) ⇒ S(x) = 1 21. Akibatnya, P(x) = x(x + 2)(x + 6) 21 . Dengan demikian, didapat P(15) = 15 ⋅ 17 ⋅ 21 21 = 15 ⋅ 17 = 255. 7. (Algoritma Pembagian) – Mudah Misalkan Ax 3 + Bx 2 + Cx + D merupakan jumlahan hasil dan sisa bagi dari 7x 6 + 4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 1 oleh x 4 − 4x 3 + 2x 2 − x + 5. Nilai dari A + B + C − D adalah ... a. 275 b. 315 c. 482 d. 558 e. 639 Jawaban: D Pembahasan: Menurut algoritma pembagian, diperoleh 7x 6 + 4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 1 = (x 4 − 4x 3 + 2x 2 − x + 5)(7x 2 + 28x + 102) + 362x 3 − 209x 2 − 37x − 509. Akibatnya, didapat Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 7x 2 + 28x + 102 + 362x 3 − 209x 2 − 37x − 509 = 362x 3 − 202x 2 − 9x − 407. Jadi, A = 362, B = −202, C = −9, dan D = −407 yang memberikan A + B + C − D = 362 − 202 − 9 + 407 = 558. 8. (Identitas Aljabar) – Mudah Diberikan bilangan real tak nol p, q, dan r yang memenuhi a+b c = b+c a = c+a b . Jumlahan semua nilai yang mungkin dari (1 + b a ) (1 + c b ) (1 + a c ) adalah ... a. 5 b. 7 c. 11 d. 17 e. 22 Jawaban: B Pembahasan: Tinjau bahwa dari persamaan pertama, didapat