Title Chương 5_Bài 17_ _KNTT_Lời giải.pdf ✅

BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm 0 x . Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại điềm 0 x nếu   0 0 lim ( ) x x f x f x   . Hàm số f (x) không liên tục tại 0 x được gọi là gián đoạn tại điểm đó. 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) x a x b f x f a f x f b       Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a;b],[a;), được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó. - Hàm số đa thức và các hàm số y  sin x, y  cos x liên tục trên  . - Các hàm số y  tan x, y  cot x, y  x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng. 3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Giả sử hai hàm số y  f (x) và y  g(x) liên tục tại điểm 0 x . Khi đó: a) Các hàm số y  f (x)  g(x), y  f (x)  g(x) và y  f (x)g(x) liên tục tại 0 x ; b) Hàm số ( ) ( ) f x y g x  liên tục tại 0 x nếu g  x0   0 . Nhận xét. Nếu hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a) f (b)  0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b) sao cho f (c)  0 . Kết quả này được minh hoạ bằng đồ thị như Hình 5.8 B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 5.14. Cho f  x và g x là các hàm số liên tục tại x 1. Biết f 1  2 và     1 lim 2 3 x f x g x        . Tính g 1 . Lời giải Vì f  x và g x liên tục tại x 1 suy ra         1 2 1 1 lim 2 3 x f g f x g x          suy ra g 1 1. Bài 5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)   2 5 6 x f x x x    b)   2 1 khi 1 4 khi 1. x x f x x x         Lời giải a)      2 5 6 2 3 x x f x x x x x       Tập xác định của f  x: D  R2;3 Suy ra f  x liên tục trên ;3,3;2 và 2;  . b) Tập xác định: D  R Ta thấy     2 1 1 lim 4 3, lim 1 2 x x x x         . Do đó không tồn tại giới hạn   1 limx f x  . Vậy hàm số gián đoạn tại 1. Bài 5.16. Tìm giá trị của tham số m đề hàm số liên tục trên  .   sin khi 0 khi 0 x x f x x m x        Lời giải Ta có: 0 limsin 0 x x    . Để hàm số liên tục trên R thì   0 0 limsin lim 0 0 x x x x m m           Bài 5.17. Một bảng giá cước taxi được cho như sau: Gía mở cửa 0,5km Gía cước các km tiếp theo đến 30km Giá cước từ km thứ 31 10000đồng 13500 đồng 11 000 đồng a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển. b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a. Lời giải a)       10000 x 0.5 5000 13500 0.5 0.5 30 403250 11000 30 x 30 x khi f x x khi x x khi               C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng K và 0 x K. Hàm số y  fx gọi là liên tục tại 0 x nếu 0 0 x x0 x x x x o o lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).         
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho   x 2 2 x f x x     với x  0. Phải bổ sung thêm giá trị f0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại x  0? Lời giải       x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 2 x x 2 2 x lim f x lim lim x x 2 2 x 2 1 lim . x 2 2 x 2                     Như vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì phải bổ sung thêm giá trị   1 f 0 . 2  Ví dụ 2: Cho hàm số   2 a x vôùi x 1 vaø a f x . 3 vôùi x 1          Giá trị của a để fx liên tục tại x 1 là bao nhiêu? Lời giải TXĐ: D  . Ta có:     2 x 1 x 1 limf x lim a x a 1.       Để hàm số liên tục tại     x 1 x 1 limf x f 1 a 1 3 a 4.          Ví dụ 3: Cho hàm số   2 3 x 1 vôùi x 3 vaø x 2 f x . x x 6 b 3 vôùi x 3 vaø b                Tìm b để fx liên tục tại x  3. Lời giải TXĐ: D  . Ta có:     2 3 x 3 x 3 x 1 3 lim f x lim ; f 3 b 3.   x x 6 3        Để hàm số liên tục tại     x 3 3 2 3 x 3 lim f x f 3 b 3 b .  3 3          Ví dụ 4: Cho hàm số   a 2 khi x 2 f x . sin khi x 2 x           Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x  2. Lời giải TXĐ: D  . Ta có         x 2 x 2 x 2 x 2 f 2 sin 1 2 lim f x lim a 2 a 2 lim f x lim sin 1 2                           Hàm số liên tục tại x  2 khi a 1  2  a  3. Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm 0 x .
  3 3x 2 2 neáu x 2 f x x 2 ax 2 neáu x 2             ; 0 x  2. Lời giải TXĐ: D  . Ta có:         3 2 x 2 x 2 x 2 3 3 3x 2 2 3 x 2 1 lim f x lim lim . x 2 4 x 2 3x 2 2 3x 2 4                           x 2 lim f x ax 2 2a 2.       Lại có: f2  2a  2 . Hàm số liên tục tại 0 x  2 nếu 1 7 2a 2 a . 4 8      Ví dụ 6: Cho hàm số   x 2 vôùi 5 x 4 x 5 f x mx 2 vôùi x 4 . x vôùi x 4 3               Tìm giá trị của m để fx liên tục tại x  4 . Lời giải Ta có:   x 4 x 4 x 4 x 2 2 x 2 lim f x lim ; lim .     x 5 3   3 3      Và f4  4m  2 Để hàm số liên tục tại x  4 thì       x 4 x 4 lim f x lim f x f 4       2 1 4m 2 m . 3 3       Ví dụ 7: Cho hàm số   2 2 2 x 8 3 neáu x 1 f x x 4x 3 . 1 cos x a x neáu x 1 6                Tìm giá trị của a để fx liên tục tại x 1. Lời giải TXĐ: D  . •   1 2 1 2 f 1 cos a 1 a 1. 6 6         •   2 2 x 1 x 1 1 1 lim f x lim cos x a x a 1.     6 6               •     2 2 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 8 3 x 8 3 x 8 3 lim f x lim lim x 4x 3 x 4x 3 x 8 3                                   