Title Bài 4.4_Hai mặt phẳng song song_CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng P và Q , có thể xảy ra một trong ba trường hợp: - Trường hợp 1: P và Q có ba điểm chung không thẳng hàng, ta nói hai mặt phẳng P và Q trùng nhau, kí hiệu P  Q . - Trường hợp 2: P và Q phân biệt và có một điểm chung, ta nói P và Q cắt nhau theo giao tuyến d đi qua điểm chung, kí hiệu P Q  d . Trường hợp 3: P và Q không có bất kì điểm chung nào, nghĩa là P Q   , ta nói P và Q song song với nhau, kí hiệu P / /Q hoặc Q / /P. Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1 Nếu hai mặt phẳng P chứa hai đường thẳng a,b cắt nhau và hai đường thẳng đó song song với mặt phẳng Q thì Psong song với Q . Chú ý: Chẳng hạn A, B,C không thẳng hàng và AB / /MN và AC / /MP thì  ABC / /MNP . 3. Tính chất của hai mặt phẳng song song Định lí 2 Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Định lí 3 Cho hai mặt phẳng P và Q song song với nhau. Nếu R cắt P thì cắt Q và hai giao tuyến của chúng song song với nhau. 4. Định lí Thales trong không gian Định lí 4 (Định lí Thales ) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 5. Hình lăng trụ và hình hộp Hình lăng trụ
Cho hai mặt phẳng P và   ' P song song với nhau. Trên P cho đa giác lồi 1 2 ... A A An . Qua các đỉnh của đa giác này, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt   ' P lần lượt tại ' ' ' 1 2 , ,..., A A An . Hình tạo bởi các hình bình hành ' ' ' ' ' ' 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 , ,..., A A A A A A A A AnA A An và hai đa giác ' ' ' 1 2 1 2 ... , ... A A An A A An gọi là hình lăng trụ, kí hiệu ' ' ' 1 2 1 2 ... . ... A A An A A An . Hình lăng trụ ' ' ' 1 2 1 2 ... . ... A A An A A An ta gọi: - Hai đa giác ' ' ' 1 2 1 2 ... , ... A A An A A An là hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song; - Các điểm ' ' ' 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., A A An A A An là các đỉnh; - Các hìn bình hành ' ' ' ' ' ' 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 , ,..., A A A A A A A A AnA A An là các mặt bên; - Các đoạn thẳng ' ' ' 1 1 2 2 , ,..., A A A A AnAn là các cạnh bên. Các cạnh bên song song và bằng nhau. - Các cạnh của hai đa giác là các cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song và bằng nhau. Chú ý: Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... tương ứng được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác, ... Hình hộp Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Trong mỗi hộp có: - Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện; - Hai đỉnh không cùng nằm trên một mặt gọi là hai đỉnh đối diện; - Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo; - Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song 1. Phương pháp Áp dụng kết quả sau:                     a c, b d a,b P P Q c,d Q a b A ∥ ∥ ∥ Áp dụng: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).              a Q a P Q P ∥ ∥ 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD∥ BC, AD 2BC. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD. a. Chứng minh EFB∥ SCD . Từ đó chứng minh CI∥ EFB .
b. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh SBF∥ KCD . Giải a. Ta có: EF∥ SD (EF là đường trung bình của tam giác SAD). BF∥ CD BC∥ FD, BC  FD. Suy ra EFB∥ SCD . Mà CI  SCD nên CI∥ EFB . b. Ta có:                         BC AD BC SBC , AD SAD S SBC SAD SBC SAD Sx, Sx AD BC ∥ ∥ ∥ Trong mp(SAD): FI cắt Sx tại K. Ta có: SK∥ FD, IS ID nên IK  IF . Vậy tứ giác SKDF là hình bình hành, suy ra SF∥ KD . Mặt khác BF∥ CD nên SBF∥ KCD . Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a. Chứng minh mặt phẳng (OMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau. b. Giả sử hai tam giác SAD và ABC đều là tam giác cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với mặt phẳng (SAD). Giải a. Ta có: ON∥ BC (ON là đường trung bình của tam giác BCD). OM∥ SC (OM là đường trung bình của tam giác SAC) Vì OM,ON  OMN; BC,SC  SBC nên OMN∥ SBC . b. Từ E kẻ đường thẳng EP∥ AD (P thuộc AB) (1) Khi đó theo tính chất đường phân giác và tam giác cân ta có:     PB EC AC AB FB PA ED AD AS FA Do đó: PF∥ SA (2) Từ (1) và (2) suy ra PEF∥ SAD. Mặt khác EF  PEF nên EF∥ SAD. Ngoài ra ta có thể dùng định lí Thales để chứng minh EF∥ SAD như sau: Theo tính chất đường phân giác và tính chất của tam giác cân ta chứng minh được: K x E I F A D B C S P F E O N M B A D C S
   AB AC FB EC AS AD FS ED . Theo định lí Thales ta suy ra ba đường thẳng BC, EF và SD nằm trong ba mặt phẳng song song, suy ra EF song song với mặt phẳng chứa BC và song song với mặt phẳng chứa SD. Mặt khác BC∥ AD nên EF song song với mặt phẳng (SAD). Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ song song với nhau. a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau. b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c. Chứng minh G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. Giải a. Ta có: A'B∥ D'C (vì tứ giác A’BCD’ là hình bình hành). BD∥ B'D' (vì tứ giác BB’D’D là hình bình hành), suy ra mpBDA'∥ mpB'D'C . b. Gọi O, O’ và Q lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D và AA’C’C. Ta có: A’O là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác BDA’ nên  A'G 2 A'O 3 . Do đó G cũng là trọng tâm tam giác A’AC (vì A’O là đường trung tuyến của tam giác A’AC). Mà AQ là đường trung tuyến của tam giác A’AC nên G thuộc AQ, G thuộc AC’ . (1) Tương tự ta có G’ là trọng tâm của tam giác B’D’C và cũng là trọng tâm của tam giác A’C’C. Mà C’Q là đường trung tuyến của tam giác A’C’C nên G’ thuộc C’Q. Suy ra G’ thuộc AC’. (2) Từ (1) và (2) suy ra đường chéo AC’ đi qua hai trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c. Ta có: G là trọng tâm tam giác A’AC nên       AG 2 AG 1 AC' 2AQ AQ 3 AC' 3 . Suy ra  1 AG AC' 3 . G’ là trọng tâm tam giác A’C’C nên       C'G' 2 C'G' 1 AC' 2C'Q C'Q 3 C'A 3 . Suy ra  1 C'G' AC' 3 . Vậy    1 AG GG' C'G' AC' 3 . Tức là G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng 1. Phương pháp                         P Q P a a b Q b ∥ ∥ G' G Q O O' A' B' C' A D C B D'