Title Chương 5_Bài 16_ Đề bài_Toán 12_KNTT.pdf ✅

BÀI 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❶. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng Δ và Δ tương ứng có vectơ chỉ phương ( ) ( ) ' u a b c u a b c = ; ; , ; ; =    . Khi đó: ( ) ( ) ' 2 2 2 '2 '2 '2 cos Δ,Δ cos , + + = = + +      + + aa bb cc u u a b c a b c Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , tính góc giữa hai đường thẳng: Lời giải Hai đường thẳng Δ và Δ tương ứng có các vectơ chỉ phương u u = = (1;1;0 , 2;2;1 )  ( ). Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 1 2 2 cos Δ,Δ cos , 1 1 0 2 2 1 3  +  +   = = = + +  + +  u u Vậy (Δ,Δ 19,5 )  . Luyện tập 1: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng 3 1 1 Δ : 1 2 2 − + − = = − x y z Lời giải Trục Oz có vectơ chỉ phương là k = (0;0;1) Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là u = − (1;2; 2) Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 cos ,Δ cos , 1 1 2 ( 2) 3 − = = =  + + − Oz k u Vậy (Oz,Δ 48, 2 )  . ❷. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho đ̛ường thẳng Δ có vectơ chỉ phương u a b c = ( ; ; ) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n A B C = ( ; ; ) . Khi đó: ( ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin Δ, cos , . + + = = + +  + + aA bB cC P u n a b c A B C Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , tính góc tạo bởi trục Ox và mặt phẳng (P) : 2 2 0 x y z − + + = . Lời giải Trục Ox có vectơ chỉ phương i = (1;0;0) , mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = − ( 2; 1;1) . Ta có:
( ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 0 1 0 1 2 sin , 2 1 0 0 2 ( 1) 1  +  − +  = = + +  + − + Ox P . Vậy Ox tạo với (P) góc 45 . Luyện tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) , với: ( ) 2 4 1 Δ : , P : x y z 1 0 1 2 1 + − + = = − + − = − x y z . Lời giải Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là u = −( 1;2;1) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n = − (1; 1;1) Ta có ( ( )) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 sin Δ, ( 1) 2 1 1 ( 1) 1 3 2 − − + = = − + +  + − + P Do đó (Δ, 28,1 (P))  . ➌. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P Q ),( ) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là n A B C n A B C = ( ; ; , ; ; ' )  = (   ) . Khi đó, góc giữa (P) và (Q) , kí hiệu là ((P Q ),( )) , được tinh theo công thức: (( ) ( )) ( ) ' 2 2 2 '2 '2 '2 cos , cos , + + = = + +  +   + AA BB CC  P Q n n A B C A B C Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , tính góc giữa hai mặt phẳng (P x y z ): 2 2 1 0 + + − = và (Q) : x y z + − + =1 0. Lời giải Các mặt phẳng (P Q ),( ) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là n n = = − (1;2;2 , 1;1; 1 )  ( ). Ta có: (( ) ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 3 cos , 1 2 2 1 1 ( 1) 9  +  +  − = = + +  + + − P Q . Do đó ((P Q ), 78,9 ( ))  . Luyện tập 3: không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P : 2 2 0 ) x y z − + − = và (Oxz) : y 0 = . Lời giải Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = − (1; 2;1) Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến n  = (0;1;0) Có (( ) ( )) 1.0 2 1 1.0 2 cos , 1 2 1 1 2 −  + = = + +  P Oxz Suy ra ((P , Oxz 45 ) ( )) = .
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , cho A B C D (0;0;4 , 0; 3;0 , 0;3;0 , 3;0;0 ) ( − ) ( ) ( ) . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABD) và ( ACD). Lời giải Mặt phẳng ( ABD) có cặp vectơ chỉ phương là BD = (3;3;0) và AD = − (3;0; 4). Suy ra ( ABD) có vectơ pháp tuyến , 12;12; 9 ( )   = − −   BD AD . Do đó n = − − ( 4;4; 3) cũng là vectơ pháp tuyến của ( ABD). Mặt phẳng ( ACD) có cặp vectơ chỉ phương là AC = − (0;3; 4) và AD = − (3;0; 4) . Suy ra ( ACD) có vectơ pháp tuyến là , 12; 12; 9 ( )   = − − −   AC AD . Do đó m = (4;4;3) cũng là vectơ pháp tuyến của ( ACD). Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ABD) và ( ACD) . Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 3 3 9 cos cos , ( 4) 4 ( 3) 4 4 3 41  −  +  + −  = = = − + + −  + + n m Vậy   77,3 . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 5.20: Trong không gian Oxyz , tính góc giữa hai đường thẳng 1 1 2 Δ : 1 2 3  = +   = −   = + x t y t z t và 2 2 1 2 Δ : 1 1 2 − + − = = − x x z Bài 5.21: Trong không gian Oxyz , tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P x y z ): 2 1 0 + − − = . Bài 5.22: Tính góc giữa đường thẳng 132 Δ : 1 2 3 + − + = = − x y z và mặt phẳng (P : x y z 3 0 ) + + + = . Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Bài 5.24: (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm. a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên). b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Góc của hai mặt phẳng 1. Phương pháp Góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ 1 2 3 a a a a = ( ; ; ) và 1 2 3 b b b b = ( ; ; ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhợn hoặc tù. 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos( ; ) . . a b a b a b a b a b a b a a a b b b + + = = + + + + với 0 180 .      Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 ( ) : 0 P A x B y C z D + + + = và 2 2 2 2 ( ) : 0. Q A x B y C z D + + + = ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos ( ),( ) cos . . P Q P Q n n A A B B C C P Q n n A B C A B C  + + = = = + + + + với 0 90 .      2. Ví dụ