Title CĐ5. Bất đẳng thức.Image.Marked.pdf ✅

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT) Các mệnh đề: “ ” A B hoặc “ “ A B được gọi là các bất đẳng thức suy rộng. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương: Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B <=> C>D 3. Tính chất: ( A B  A C  B C Cộng hai vế của BĐT với cùng một số) (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)     . . , 0 . . , 0 A B AC BC C A B AC BC C             A B,C  D  A C  B D ( Cộng hai BĐT cùng chiều) A B,C  D  AC  BD,A,C  0 (Nhân hai BĐT cùng chiều) hoặc Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một 2n 1 2n 1 A B A B      2n 2n A  B lũy thừa) A B  A  B,A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT) a  b  a b  a  b (Tính chất giá trị tuyệt đối). II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT 2 A  0 Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2 x  y  z  xy  yz  zx HD: Xét hiệu ta có:         2 2 2 2 2 2 2 x  y  z  xy  yz  zx  0  x  y  y  z  z  x  0 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2 x  y  z  2xy  2yz  2zx HD: Xét hiệu ta có:   2 2 2 2 x  y  z  2xy  2yz  2zx  0  x  y  z  0 Dấu bằng xảy ra khi x+z=y Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì   2 2 2 x  y  z  3  2 x  y  z
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2 HD: Xét hiệu ta có: ,       Dấu bằng khi x=y=z=1 2 2 2 x 1  y 1  z 1  0 Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : 2 2 2 2 2 a  b  a  b       HD: Xét hiệu ta có : <=> 2 2 2 2 2 0 2 4 a  b a  ab  b     2 2 2 2 2a  2b  a  2ab  b  0   , Dấu bằng khi a=- b 2 2 2  a  2ab  b  0  a  b  0 Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có : 2 2 2 2 3 3 a  b  c  a  b  c       HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 a  b  c a  b  c  ab  bc  ac    2 2 2 2 2 2  3a  3b  3c  a  b  c  2ab  2bc  2ac  0 2 2 2  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac  0       , Dấu bằng khi a=b=c 2 2 2  a  b  b  c  c  a  0 Bài 6: CMR :   2 2 2 2 3 a b c a b c      HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 3a  3b  3c  a  b  c  2ab  2bc  2ca 2 2 2  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac  0       , Dấu bằng khi a=b=c 2 2 2  a  b  b  c  c  a  0 Bài 7: CMR :   2 2 2 2 2 a b a b ab     HD: Ta chứng minh:   2 2 2 2 a b a b    2 2 2 2  2a  2b  a  2ab  b   , Dấu bằng khi a=b 2 2 2  a  b  2ab  0  a  b  0 Ta chứng minh , Dấu bằng khi a=b   2 2 2 a b ab     2 2 2  a  2ab  b  4ab  a  b  0 Bài 8: Cho a,b,c là các số thực. CMR: 2 2 4 b a   ab HD: Ta có:   2 2 2 4a  b  4ab  2a  b  0 Dấu bằng khi b=2a Bài 9: Cho a,b,c là các số thực. CMR : 2 2 a  b 1 ab  a  b HD: Ta có: 2 2 a  b 1 ab  a  b  0 2 2  2a  2b  2  2ab  2a  2b  0
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3       . 2 2 2 2  a  2ab  b  a  2a 1  b  2b 1  0       2 2 2  a  b  a 1  b 1  0 Dấu bằng khi a=b=1 Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực . CMR :   2 2 2 2 2 a  b  c  d  e  a b  c  d  e HD: Ta có: 2 2 2 2 2 a  b  c  d  e  ab  ac  ad  ae  0 2 2 2 2 2  4a  4b  4c  4d  4e  4ab  4ac  4ad  4ae  0          2 2 2 2 2 2 2 2 a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ae  4e  0          2 2 2 2 a  2b  a  2c  a  2d  a  2e  0 Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: 1 1 1 1 9 a b             HD: Ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1 a b a b b a a b a b a b b a                                     5 2 5 2.2 9 . Dấu bằng khi a b b a             2 2 1 2 a b a b a b b a       Bài 12: Cho 2 , 0, : 2 x y x y CMR xy          HD: Ta có: ,   Dấu bằng khi x=y 2 2 2 2 2 x  y  2xy  4xy  x  2xy  y  0  x  y  0 Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR: 3 3 2 2 a  b  a b  ab HD: Ta có:        3 2 3 2 2 2 a  a b  b  ab  0  a a  b  b a  b  0         2 2 2 a  b a  b  0  a  b a  b  0 Dấu bằng khi a=b Bài 14: Cho CMR: a  b 1, 2 2 1 1 2 1 a 1 b 1 ab      HD: Xét hiệu: 2 2 1 1 1 1 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab                               2 2 0 1 1 1 1 a b a b a b a ab b ab           , Dấu bằng khi a=b hoặc a.b=1         2 2 2 1 0 1 1 b a ab ab a b a       Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có :   2 2 2 2 x  y  z  t  x y  z  t HD: Ta có: 2 2 2 2 x  y  z  t  xy  xz  xt  0  2 2 2 2 4x  4y  4z  4t  4xy  4xz  4xt  0        2 2 2 2 2 2 2 x  4xy  4y  x  4xz  4z  x  4xt  4t  x  0 Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4 Bài 17: CMR : 2 2 2 2 4 a  b  c  ab  ac  bc HD: Ta có: 2 2 2 a  4b  4c  4ab  4ac 8bc  0     2 2 2  a  4a b  c  4 b  c  2bc  0      2 2 a  4a b  c  4 b  c  0    2 a  2a  2c  0 Bài 19: CMR : 2 2 2 x  y  z  2xy  2zx  2yz HD: Ta có: 2 2 2 x  y  z  2xy  2yz  2zx  0   2 2 2  x  2x y  z  y  2 yz  z  0       2 2 2 x  2x y  z  y  z  0  x  y  z  0 Bài 20: CMR :   4 4 4 2 x  y  z 1 2x xy  x  z 1 HD: Ta có: 4 4 4 2 2 2 x  y  z 1 2x y  2x  2xz  2x  0       4 4 2 2 2 2 2 x  y  2x y  x  2xz  z  x  2x 1  0       , Dấu bằng khi x=z=1, y= 2 2 2 2 2 x  y  x  z  x 1  0 1 Bài 21: CMR : 2 2 2 a  b  c  ab  bc  ca HD: Ta có : 2 2 2 a  b  c  ab  bc  ca  0 2 2 2  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca  0       2 2 2  a  b  b  c  c  a  0 Bài 22: CMR : 2 2 a  b  ab HD: Ta có: 2 2 a  b  ab  0 2 2 2 2 2 3 3 2 . 0 0 2 4 4 2 4 b b b b b a a a                Bài 23: CMR : 2 2 x  xy  y  0 HD: Ta có: 2 2 2 2 2 3 3 2 . 0 0 2 4 4 2 4 y y y y y x x x               Bài 24: CMR :     2 2 a a  b a  c a  b  c  b c  0 HD:     2 2  a a  b  c a  b a  c  b c  0     2 2 2 2 a  ab  ac a  ab  ac  bc  b c  0 Đặt , Khi đó ta có: 2 a ab ac x bc y          2 2 2 x x  y  y  0  x  xy  y  0 Bài 25: CMR :      2 2 2 4 4 3 3 a  b a  b  a  b HD: Ta có: 6 2 4 4 2 6 6 3 3 6 a  a b  a b  b  a  2a b  b      4 2 3 3 2 4 3 3 a b  a b  a b  a b  0