Title Chuyên đề 6_Cấp số cộng_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 4. CẤP SỐ CỘNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 2. Cấp số cộng (un ) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi: u u d n n n = +  −1 , 2 . ( ) 3. Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu 1 u và công sai d thì số hạng tổng quát n u của nó được xác định theo công thức: u u n d n = + − 1 ( 1 . ) 4. Cho cấp số cộng (un ) với công sai d . Đặt n n 1 2 S u u u = + ++ . Khi đó ( ) ( 1 ) 1 2 1 . 2 2 n n n n u u S u n d + = + − =     B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: x n n = + − 75 5 1 . ( ) (Nguồn: https:///bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét? b) Dãy số ( xn ) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét? Lời giải a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là: x3 = + − = 75 5 3 1 85 cm ( ) ( ) b) Ta có: x n n n+1 = + + − = + 75 5 1 1 75 5 ( ) Xét hiệu x x n n n n +1 − = + − + − = 75 5 75 5 1 5   ( )   Do đó ( xn ) là một cấp số cộng có số hạng đầu 1 x = 75 và công sai d = 5 Câu 2: Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. Phuơng án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi: a) Kí hợp đồng lao động 3 năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? Lời giải +) Theo phương án 1: Gọi (un) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm.
Dãy số n u lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu 1 u =120 và công sai d =18 . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u n n = + −  120 1 18 ( ) . +) Theo phương án 2: Gọi (vn ) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số (vn ) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu 1 v 24 = và công sai d 1,8 = . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là v n n = + − 24 1 1,8 ( ) . a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có: +) Theo phương án 1: 3 u =120 + (3 - 1).18 = 156 (triệu đồng) Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là: ( ) 3 3 120 156 414 2 S  + = = (triệu đồng). +) Theo phương án 2: u12 = + −  = 24 12 1 1,8 43,8 ( ) . Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là: ( ) 12 12 24 43,8 406,8 2 S  + = = (triệu đồng). Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1. b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có: +) Theo phương án 1: u10 = + − = 120 10 1 .18 282 ( ) (triệu đồng) Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là: ( ) 10 10 120 282 2010 2 S  + = = (triệu đồng). +) Theo phương án 2: u40 = + −  = 24 40 1 1,8 94,2 ( ) (triệu đồng). Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là: ( ) 12 40 24 94,2 2364 2 S  + = = (triệu đồng). Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2. Câu 3: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm,43 cm , 41 cm, ,31 cm  . a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể. Lời giải a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là - u n n n = − − = − 45 2 1 47 2 ( ) Khi 31 8 n u n =  = Vậy cái thang có 8 bậc. b) ( ) 8 8. 45 31 304 2 S + = = . Vậy chiều dài thanh gỗ là 304 cm. Câu 4: Bạn Gia Linh xếp que diêm thành hình tháp trên mặt sân như hình vẽ: 1 tầng 2 tầng 3 tầng a) Hỏi nếu có 5 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp tầng đế của tháp? b) Hỏi nếu có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp tầng đế của tháp? c) Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm? Lời giải 1 tầng 2 tầng 3 tầng a) Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp, Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp, Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp, Xếp 4 tầng cần 15 que xếp đế tháp, Xếp 5 tầng cần 19 que xếp đế tháp. b) Giả sử để xếp n tầng thì cần n u que xếp tầng đế, khi đó ta có: Cách 1: 1 u = 3 2 1 u u = + 4 3 2 1 u u u = + = + 4 2.4 4 3 1 u u u = + = + 4 3.4 5 4 1 u u u = + = + 4 4.4 ......
100 99 1 u u u = + = + = + = 4 99.4 3 99.4 399 Cách 2: Theo giả thiết số que diêm xếp tầng đế của tháp lập thành một cấp số cộng với 1 u = 3 và công sai d = 4 . Do đó số que diêm xếp tầng đế của tháp nếu có 100 tầng là: ( ) 100 1 u u d = + − = + = 100 1 . 3 99.4 399 . c) Số que ở 1 tầng là 1 u = 3. Tổng số que ở 2 tầng là 1 2 u u + = +3 7 . Tổng số que ở 3 tầng là 1 2 3 u u u + + = + + 3 7 11. Ta có cấp số cộng 1 u = 3, d = 4 , tính 10 S ? Để cần có 10 tầng cần tổng 10 ( ) 10 2.3 9.4 210 2 S = + = que. Câu 5: Một con ốc sên bị rơi vào 1 cái giếng sâu 100 mét. Ốc sên cố gắng thoát ra bằng cách mỗi ngày trèo lên thêm 1 đoạn 3m so với ngày trước đó theo chiều cao của miệng giếng. Biết rằng ngày đầu tiên con ốc sên trèo được 2m. Hỏi sau ngày thứ 30, con ốc sên có trèo ra khỏi được giếng hay chưa? Lời giải Theo giả thiết số mét ốc sên bò được qua các ngày lập thành một cấp số cộng với ngày thứ nhất bò được là 1 u = 2 (m) và công sai d = 3 (m) Do đó số mét ốc sên bò được sau 30 ngày là: u u d 30 1 = + − = + = (30 1 2 29.3 89 ) (m) Vậy sau ngày thứ 30 con ốc sên vẫn chưa ra khỏi miệng giếng. Câu 6: Một công ty trả lương cho anh A theo phương thức sau: Mức lương quý đầu tiên là 4,5 triệu đồng/ quý. Kể từ quý tiếp theo, mỗi quý được tăng thêm 0,3 triệu đồng. Hỏi tổng số tiền lương anh A nhận được sau 3 năm làm việc? Lời giải Gọi n u là mức lương ở quý thứ n thì: 1 u à d = = 4,5 v 0,3 1 năm có 4 quý nên 13 năm có 12 quý  u12 = + − = 4,5 12 1 .0,3 7,8. ( ) Vậy: ( 1 12 ) ( ) 12 12 4,5 7,8 .12 73,8 2 6 u u S + + = = = (triệu đồng). Câu 7: Dân số nước ta năm 2008 là 84 triệu người (đứng thứ 13 trên thế giới) bình quân dân số tăng 1 triệu người/ năm (bằng dân số 1 tỉnh). Với tốc độ tăng dân số như thế, năm 2026 dân số nước ta là bao nhiêu? Dự đoán đến năm nào thì dân số nước ta đạt mốc 1 tỷ người? Lời giải Theo giả thiết thì tốc độ tăng dân luôn ổn định đều qua các năm. Do vậy số dân hằng năm lập thành một cấp số cộng với công sai d 1 = triệu, 1 u = 84 triệu.