Title Đề Thi Chọn Đội Tuyển TP Hồ Chí Minh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2011-2012 [Đáp Án].pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 19 - 10 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút. Bài 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau : y 1 x 2 2 2 x (y 1) 2x 9x 6 4x 18x 20 y 1 2x 9x 8 + ⎧ = + ⎪ ⎨ − + ⎪ − + −+ = + ⎩ − + Bài 2: (4 điểm) Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt ( và ( lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D). Đường thẳng MC cắt ( tại P khác C. Đường thẳng MD cắt (O1 O1 ) ) ) ) ) (O2 O2 O1 (O2 ) tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh rằng MO vuông góc với EF . Bài 3: (4 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: 1113 a b b c c a abc ( 1) ( 1) ( 1) 1 ++≥ + + ++ Bài 4: (4 điểm) Cho đa thức . Giả sử P( có đủ 2012 nghiệm thực. Chứng minh rằng trong các nghiệm của P( có ít nhất một nghiệm thoả mãn 2012 2010 P(x) x mx m (m 0) =− + ≠ x) x) 0 x 0 x 2 ≤ . Bài 5: (4 điểm) Cho các số nguyên x, y. Biết rằng: x2 – 2xy + y2 – 5x + 7y và x2 – 3xy + 2 y2 + x – y đều chia hết cho 17. Chứng minh rằng: xy – 12x + 15y chia hết cho 17. HẾT
ĐÁP ÁN Bài 1 y 1 x x (y 1) (1) + ⎧ = + 2 2 2 2x 9x 6 4x 18x 20 y 1 (2) 2x 9x 8 ⎪ ⎨ − + ⎪ − + −+ = + ⎩ − + TXĐ : 5 x 2; , y 2 ⎡ ⎤ ∈ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ −1 Từ (2) , đặt 2 1 t 4x 18x 20 (x 2)(10 4x), 0 t 2 = − + − = − − ≤≤ xét hàm số ( ) 2 4 1 f t t 1 t 0; t4 2 ⎡ ⎤ = + + ∀∈ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 / 22 2 22 2 8t t 8t 16 8t t 7t t 4 ft 1 0 t4 t4 t4 + +− + +− =− = = > ++ + Suy ra ft f0 2 () ( ) ≥ = Suy ra y1 2 y 3 +≥⇔ ≥ Ta có (1) ln(x) ln(y 1) x y1 + ⇔ = + Xét hàm số ( ) ln(t) g t t = với t 0 > ( ) / 2 1 ln t g t t − = ; ( ) / gt 0 t e = ⇔ = Suy ra g t( ) đồng biến trên ( ) 0;e , g t( ) nghịch biến trên (e;+∞) Do ( 5 x 2; 0;e 2 ⎡ ⎤ ∈ ⊂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ) suy ra ln x ln 2 x 2 ≥ (3) Do y 3 ≥ suy ra ln(y 1) ln 4 ln 2 y1 4 2 + ≤ = + (4) Từ (3) và (4) ta suy ra hệ có nghiệm duy nhất là x 2; y 3 = = Thử lại thấy thỏa mãn. Bài 2 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ, có EF là trục đẳng phương của 2 đường tròn (I) và (O) ⇒ EF ⊥ OI Để chứng minh MO vuông góc với EF ta chứng minh M, I, O thẳng hàng. Có MP.MC MA.MB MQ.MD k = = = Phép nghịch đảo cực M, phương tích k biến : C 6 P A 6 B
D 6 Q Đường tròn (ACD) không đi qua M. Theo tích chất phép nghịch đảo ta có M, I, O thẳng hàng. O E F P Q D A B O1 O2 M C Bài 3 1 1 1 a ab 1 abc 1 1 a b(1 c) a(b 1) 1 abc 1 abc a(b 1) 1 abc a(b 1) b 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ + ++ + + ∗ += ⎜ ⎟⎜ ⎟ = + ++ + + + + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 1 b bc 1 abc 1 1 b c(1 a) b(c 1) 1 abc 1 abc b(c 1) 1 abc b(c 1) c 1 ⎛ ⎞⎛ + ++ + + ∗ += ⎜ ⎟⎜ = + ++ + + + + + ⎝ ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 1 1 1 1 c a(1 c(a 1) 1 abc 1 abc c(a 1) a 1 ⎛ ⎞ + + ∗+= + ⎜ ⎟ ++ + + + ⎝ ⎠ b) Cộng theo vế: 1 113 a(b 1) b(c 1) c(a 1) 1 abc 1 1 b c(1 a) 1 a b(1 c) 1 c a(1 b) 1 abc b(c 1) c 1 a(b 1) b 1 c(a 1) a 1 1 6 1 abc +++ + + ++ ⎛ ⎞ + ++ ++ + = +++++ ⎜ ⎟ + ++ ++ ++ ⎝ ⎠ ≥ + i ⇒ đpcm Bài 4 Gọi x1, x2,..., x2012 là các nghiệm của P(x) ⇒ P(x) (x x )(x x )...(x x ) = −− − 1 2 2012
Ta có 1 2 2012 1 2 2012 (1 x )(1 x )...(1 x ) 1 P(1) P( 1) 1 (1 x )(1 x )...(1 x ) 1 ⎧ −− − = = − =⇒ ⎨ ⎩ ++ + = Suy ra , từ đó ta có đpcm. 22 2 1 2 2012 (x 1)(x 1)...(x 1) 1 −− − = Bài 5: Ta có x2 – 3xy + 2y2 + x – y = (x-y)(x-2y+1) chia hết cho 17 ⇒ x – y chia hết cho 17 Hoặc x – 2y + 1 chia hết cho 17 x = y (mod 17) ⇒ x 2 – 2xy + y2 - 5x +7 y ≡ y 2 –2y2 + y2 –5y +7y ≡ 2y (mod 17) Nên x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y chia hết cho 17 ⇒ 2y và y : chia hết cho 17 Mà x ≡ y (mod 17) ⇒ x chia hết cho 17 ⇒ xy - 12x +15y cũng chia hết cho 17 x ≡ 2y - 1 (mod 17) ⇒ x 2 – 2xy + y2 - 5x +7 y ≡ y 2 –5y +6 (mod 17) Và xy - 12x +15y ≡ 2(y2 –5y +6) (mod 17) Nếu x 2 – 2xy + y2 - 5x +7 chia hết cho 17 thì xy - 12x +15y cũng vậy.