Title Đề số 2.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 2 Câu 1: 1. Cho biểu thức 248 . 82442 xxxx Px xxxxx      a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi 743x 2. Tính a + b biết 22202420242024.aabb Câu 2: 1. Một công ty vận tải dự định chở 54 tấn hàng để hưởng ứng phong trào “Hướng về Miền Trung thân yêu”. Nhưng khi chuẩn bị khở hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy công ty phải bổ sung thêm 3 xe, lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu công ty dự định dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau. 2. Giải hệ phương trình: 22 32343(1) ()33(2) yxyyx yyxy      3. Cho Parabol (P): 2yx và đường thẳng (d): y = mx + 4 (với m là tham số). a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi 12,xx là hoành độ giao điểm của (P) và (d). Tìm m để: 112 2 1 2 2 2 223mxxxmx T xx    nhận giá trị nguyên. Câu 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O) và lấy điểm C sao cho CA < CB. Trên đoạn OA lấy điểm D (D khác O, A). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần lượt tại E và F. Đoạn thẳng AC cắt DE tại G, BC cắt DF tại H. OC cắt GH tại I. Gọi J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF. a) Chứng minh ~AGEFHC b) Chứng minh I là trung điểm của GH và I, J, K thẳng hàng. c) Gọi M là giao điểm của JO và DK. Chứng minh JOK vuông và DE, IM, KO đồng quy.
Câu 4: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M là điểm di động trên nửa đường tròn (M không trùng với A, B). Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi D, C lần lượt là hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến ấy. Xác định vị trí của M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. Câu 5: 1. Cho các số ,,[0;1]abc . Chứng minh: 222222222 441612635.aabbbccca 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình: 223214(2)0.xyxyy ĐÁP ÁN Câu 1: 1. Cho biểu thức 248 . 82442 xxxx Px xxxxx      a) Rút gọn biểu thức P. Điều kiện: 00 480 xx xxx      Khi đó ta có: 33 33 242 24422 xxx Px xxxx       24(2)(2)(24) (2)(24)2(2) xxxxxx x xxxx     2424 2(2)(24) xxxx x xxx      2 1441(2)2 22222 xxxx xx    b) Tính giá trị của P khi 743x Khi 743x ta có 2 (23)27432 22P  2323 22  
2. Tính a + b biết 22202420242024.aabb Ta có: 22222024202420242024.aaaaaa Kết hợp với giả thiết ta suy ra 2220242024aabb Tương tự ta cũng có: 2220242024bbaa 2222 2024202420242024bbaaaabb 0ab Câu 2: 1. Một công ty vận tải dự định chở 54 tấn hàng để hưởng ứng phong trào “Hướng về Miền Trung thân yêu”. Nhưng khi chuẩn bị khở hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy công ty phải bổ sung thêm 3 xe, lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu công ty dự định dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau. Gọi x (chiếc) là số xe dự định của công ty ( *,54xNx ) Số xe tham gia vận chuyển là x + 3 (chiếc) Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định 54 x . Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế 60 3x . Theo bài ra ta có phương trình 5460 1 3xx  29() 54(3)60(3)91620.  18() xn xxxxxx xl      Vậy lúc đầu công ty có 9 chiếc xe. 2. Giải hệ phương trình: 22 32343(1) ()33(2) yxyyx yyxy      Phương trình (1) tương đương: 22222 44332yyxxxxyy 22222332,3() 3 xyx xxy xxy      TH1: 233. xyx
Kết hợp với (2) ta có hệ 2 3 693. 33 yx xyy xyyy       221:1() 9363337 5:(.) 5 yxTM yyy yxTM      TH2: 23xxy Kết hợp với (2) ta có: 2 2 0 23 33 xy xyy xyyy       221:1()3233 3;1() yxTM yyy yxL      Vậy hệ có nghiệm 37 (:)(1:1);:5. 5xy    3. Cho Parabol (P): 2yx và đường thẳng (d): y = mx + 4 (với m là tham số). a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 22 440.xmxxmx Ta có: 2Δ160m , với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi 12,xx là hoành độ giao điểm của (P) và (d). Tìm m để: 112 2 1 2 2 2 223mxxxmx T xx    nhận giá trị nguyên. Theo định lý Viet ta có: 12 12.4 xxm xx     Khi đó: 21212 222 12 2327 8 mxxxxm T xxm    2 2 9 28(9) 8TTZmU m  Mà 2288,891. mmmm Câu 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O) và lấy điểm C sao cho CA < CB. Trên đoạn OA lấy điểm D (D khác O, A). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần