Title 7. PP đường tròn-GV.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG TRÒN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Phương trình đường tròn.  Phương trình đường tròn (C) tâm I a b; , bán kính R là : 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R Dạng khai triển của (C) là : 2 2 x y ax by c 2 2 0 với 2 2 2 c a b R  Phương trình 2 2 x y ax by c 2 2 0 với điều kiện 2 2 a b c 0 , là phương trình đường tròn tâm I a b; bán kính 2 2 R a b c 2. Phương trình tiếp tuyến : Cho đường tròn (C) : 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R  Tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 M x y; là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên phương trình : 2 0 0 : ( )( ) ( )( ) x a x a y a y a R  : ax by c 0 là tiếp tuyến của (C) d I R ( , )  Đường tròn (C) : 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x a R . Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : y kx m 3. Sự tương giao của đường tròn và đường thẳng Cho đường thẳng D Ax By C : 0    và đường tròn       2 2 2 C x a y b R :     có tâm I a b  ;   D    C M N D R   ; ;  d I    D    C M d D R    I;   D     C d I D R   ;  4. Vị trí tương đối của hai đường tròn: Cho đường tròn C1  có tâm 1 I , bán kính R1 và đường tròn C2  có tâm 2 I , bán kính R2 . Giả sử R R 1 2  . Ta có:  Hai đường tròn tiếp xúc 1 2 1 2    I I R R  Hai đường tròn cắt nhau R R I I R R 1 2 1 2 1 2    
https://tuikhon.edu.vn 1 DẠNG 1 N ậ ạ g p ươ g t ì đườ g t ò , tìm tọa độ tâm v tìm bá kí ủa đườ g t ò a-Phương pháp: Phương trình về dạng:   2 2 C x y ax by c : 2 2 0      (1) + Xét dấu biểu thức 2 2 P a b c    Nếu P  0 thì (1) là phương trình đường tròn C có tâm I a b  ;  và bán kính 2 2 R a b c    Nếu P  0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn. Phương trình về dạng: 2 2 ( ) ( ) x a y b P     (2). Nếu P  0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I a b  ;  và bán kính R P  Nếu P  0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn. b. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng. a) 2 2 x y xy x      4 2 0 ; b) 2 2 x y x y      2 4 5 0 ; c) 2 2 x y x y      6 8 1 0 . Lời giải a) 2 2 x y xy x      4 2 0 không phải là phương trình của một đường tròn vì có xy . b)     2 2 2 2 x y x y x y           2 4 5 0 1 2 0 không phải là phương trình của một đường tròn vì R  0 . c)       2 2 2 2 2 x y x y x y           6 8 1 0 3 4 2 6 là phương trình của đường tròn tâm I 3;4 , bán kính R  2 6 . Ví dụ 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có. 1) 2 2 x y x y      2 4 9 0 (1) 2) 2 2 x y x y      6 4 13 0 (2) 3) 2 2 2 2 6 4 1 0 x y x y      (3) 4) 2 2 2 2 3 9 0 x y x y      (4) Lời giải 1) Phương trình (1) có dạng 2 2 x y ax by c      2 2 0 với a b c     1; 2; 9 Ta có 2 2 a b c       1 4 9 0 Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn. 2) Ta có: 2 2 a b c       9 4 13 0 Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
https://tuikhon.edu.vn 3) Ta có:   2 2 1 3 3 2 0 2       x y x y Suy ra: 2 2 2 2 3 1 15 1 0 2 2 4 P a b c                      Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm 3 ;1 2 I       bán kính 15 2 R  4) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của 2 x và 2 y khác nhau. Ví dụ 3: Tìm tâm và tính bán kính của các đường tròn sau: a) 2 2 ( 3) ( 3) 36 x y     . b) 2 2 x y    ( 2) 5 c)     2 2 x y     3 4 25 Lời giải a) Đường tròn 2 2 ( 3) ( 3) 36 x y     có tâm là điểm I 3;3 , có bán kính R  6 . b) Đường tròn 2 2 x y    ( 2) 5 có tâm là điểm I 0; 2  , có bán kính R  5 . c) Phương trình đường tròn có dạng:     2 2 x y     3 4 25 nên suy ra tâm I 3;4 và bán kính R  5. Ví dụ 4: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: a) 2 2 x y 2x 2y 2 0.      b) 2 2 16x 16y 16x 8y 11.     Lời giải a) Ta có:     2 2 2 2 x y 2x 2y 2 0 x 2x 1 y 2y 1 4                 2 2 2      x 1 y 1 2 Vậy đường tròn có tâm I 1;1   và bán kính R 2  . b) 2 2 2 2 1 11 16x 16y 16x 8y 11 x y x y 2 2          2 2 1 1 1 1 1 11 x x y y 4 4 2 16 16 2          2 2 1 1 93 x y 2 4 16                  Vậy đường tròn có tâm 1 1 J ; 2 4        và bán kính 93 R . 4  Ví dụ 5: Cho phương trình   2 2 2 4 2 6 0 x y mx m y m        (1) a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn. b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m Lời giải a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi 2 2 a b c    0
https://tuikhon.edu.vn Với a m b m c m      ; 2 2 ; 6   Hay   2 2 2 2 4 2 6 0 5 15 10 0 1 m m m m m m m                b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I m m  ;2 2    và bán kính: 2 R m m    5 15 10 Ví dụ 6: Cho phương trình đường cong ( ) Cm :     2 2 2 4 1 0 x y m x m y m         (2) a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn ( ) Cm luôn đi qua hai điểm cố định. Lời giải a) Ta có   2 2 2 2 2 2 4 2 4 1 0 2 2 2 m m m a b c m                          Suy ra (2) là phương trình đường tròn với mọi m b) Đường tròn có tâm I: 2 2 4 2 I I m x m y           suy ra 1 0 I I x y    Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng     : 1 0 x y c) Gọi M x y  0 0 ;  là điểm cố định mà họ ( ) Cm luôn đi qua. Khi đó ta có:     2 2 0 0 0 2 4 1 0, o x y m x m y m m            2 2 0 0 0 0 0 1 2 4 1 0, o           x y m x y x y m 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1 0 1 2 4 1 0 0 x y x x y x y y                     hoặc 0 0 1 2 x y      Vậy có hai điểm cố định mà họ ( ) Cm luôn đi qua với mọi m là M1 1;0 và M2 1;2 . c) Bài tập trắc nghiệm: Câu 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn       2 2 C x y : 1 2 9.     A. Tâm I 1;2 , bán kính R  3. B. Tâm I 1;2 , bán kính R  9. C. Tâm I 1; 2 ,   bán kính R  3. D. Tâm I 1; 2 ,   bán kính R  9. Lời giải Chọn A Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn       2 2 C x y : 2 3 9     . Đường tròn có tâm và bán kính là A. I R 2;3 , 9   . B. I R 2; 3 , 3    . C. I R   3;2 , 3  . D. I R   2;3 , 3  .