Title Chuyên đề 13. GÓC NỘI TIẾP, GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG.doc ✅

Mặt khác hai tam giác có AMK chung. Do yêu cầu chứng minh về góc nên để chứng minh hai tam giác đồng dạng ta nên dung c.g.c. Do vậy cần chứng minh .MDMK MKMA Trình bày lời giải  12AA mà  12BA (góc nội tiếp) nên  11BA . MBDMAB∽ (g.g) MDMBMDMK MBMAMKMA Kết hợp với DMKKMA ta có DMKKMA∽ (c.g.c)  90oMDKMKA . Vậy .DKAM Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Gọi D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC (D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E. (E nằm giữa C và D). Chứng minh rằng: a) BEDDAE . b) 2..DEDADB Giải Tìm cách giải - Trong quá trình chứng minh về góc, bạn nên sử dụng tính chất về góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng hệ quả của chúng. - Để chứng minh 2.DEDADB , bạn nên ghép chúng vào hai tam giác có cạnh là DA, DB và DE là cạnh chung của hai tam giác, rồi chứng minh chúng đồng dạng. Do đó ta chọn BED và EAD . Trình bày lời giải a) Ta có: ;EBCEABDCBDAB nên EBCDCBEABDAB . Mặt khác: EBCDCBBED ,  EABDABDAE Vậy BEDDAE . b) Ta có: ADEABCCABEDB Mà theo câu a): BEDDAE , suy ra: 2 .DEDB BEDEADDEDADB DADE∽ . Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). I là trung điểm của BC, M là điểm trên đoạn CI (M khác C và I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm D. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt đường thẳng BD, DC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng ..DMIAMPIC và tính tỉ số MP MQ . Giải Tìm cách giải. Để chứng minh ..DMIAMPIC , ta chứng minh hai tam giác có các cạnh là DM, IA, MP, IC đồng dạng. Do vậy ta cần chứng minh MDPICA∽ . Trình bày lời giải Vì DMPAMQAIC và ADBBCA nên ∽MDPICA (g.g)
..DMMP DMIAMPIC CIIA . Vì ;180oADCCBADMQAMQ 180oAIMBIA nên DMQBIA∽ (g.g) ..DMMQ DMIAMQIB BIIA (1) Từ ....DMIAMPICDMIAMPIB (2) Từ (1) và (2) suy ra 1MP MQ . Ví dụ 4. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng tại A’, B’, C’. a) Gọi các giao điểm của đường tròn (I) với các đoạn IA, IB, IC lần lượt là M, N, P. chứng minh rằng các đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy. b) Kéo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng . 2IBIC r ID , trong đó r là bán kính đường tròn (I). Giải Tìm cách giải. - Đề chứng minh các đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy, thông thường ta suy luận chúng là ba đường trung tuyến (hoặc đường phân giác, hoặc đường cao, hoặc đường trung trực) của một tam giác. Quan sát hình vẽ có thể nhận thấy ''MBMC nên ta chọn cách chứng minh chúng là ba đường phân giác của một tam giác. - Để tạo thành r trong phần kết luận, ta cần chọn r = OA’ (hoặc OB’; OC’). Tuy nhiên IB, IC có vai trò như nhau do đó OB’; OC’ có vai trò như nhau nên ta chọn r = OA’. Ta có 'IAC vuông nên để tạo được cặp tam giác đồng dạng có định D thì cần phải kẻ thêm đường vuông góc. Trình bày lời giải a) Ta có AC’. AB’ là tiếp tuyến nên  ''''BIMCIMMBMC  ''M''BACAM Hay A’M là đường phân giác của tam giác A’B’C’. Chứng minh tương tự, ta có B’N, C’P là tia phân giác của tam giác A’B’C’. Vậy các đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy. b) Cách 1. ABI có  2 BACABC BIDBADABI  (góc ngoài tam giác); Mà   2 BACABC IBDCBDCBIBIDIBD  Do đó tam giác BID cân tại D. Gọi E là trung điểm của IB. Ta có '90oIEDIAC ;  90oEDIEID   90' 22 oBACABCACB ICA  Suy ra 'IDEICA∽