Tiêu đề 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC.Image.Marked.pdf ✅

CHƯƠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2023-2024) Với các số thực dương a,b,c thay đổi thoả mãn abc 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:          2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 a b c P a b b c c a          Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được:   2 3 2 1 2 1 2 4 2 1 8 (1 2 ) 1 2 4 2 1. 2 a a a a a a a a             Tương tự, ta có: 3 2 3 2 1 8b  2b 1; 1 8c  2c 1. Do đó:          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a b c P a b b c c a          Tiếp theo ta chứng minh:          2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (*) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 a b c a b b c c a          Thật vậy:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (*)  3 2 a b  b c  c a  a  b  c  2a 1 2b 1 2c 1     2 2 2 2 2 2 2 2 2  2 a b  b c  c a  a  b  c  9. Điều này hiển nhiên đúng do 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 a b  b c  c a  3 a b c  3 và 2 2 2 3 2 2 2 a  b  c  3 a b c  3. Vậy GTNN của 1 3 P  đạt tại a  b  c 1 Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang năm 2023-2024) Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức P= 2 2 2 1 1 1 . 1 x 1 y 1 z      Lời giải Từ giả thiết x + y + z = xyz, ta có 1 1 1 1. xy yz xz    Dặt a= 1 1 1 ;b ;c a, b,c 0; x y z     Giả thiết trở thành ab + bc + ca = 1; P = 2 2 2 a b c 1 a 1 b 1 c     
Đẻ ý rằng:    2 2 a 1  a  ab  bc  ca  a  b a  c    2 2 b 1  b  ab  bc  ca  b  a b  c    2 2 c 1  c  ab  bc  ca  c  a c  b Lúc này ta có: P=          a b c a b a c b a b c c a c b         = a a b b c c . . . a b a c b a b c c a c b         Theo bất đẳng thức Cô-si (AM-GM), ta có: P 1 a a b b c c 2 a b a c b a b c c a c b                   hay P 3 2  . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 hay x y z 3 3    Vậy giá trị lớn nhất của P = 3 x y z 3. 2     Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh năm 2023-2024) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng 15 6 abc ab bc ca     Lời giải Ta sẽ chứng minh 3 2a3 2b3 2c  abc (1). Nếu 3 2a3 2b3 2c  0 thì (1) đúng Ta có              2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 . 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 a b a b c a c a c b a b c abc c b c b a                                                   Dấu “=” ở (1) xảy ra khi a = b = c = 1. Từ (1) ta có 27  92a  2b  2c  34ab  4bc  4ca 8abc  abc  27  9.6 12ab  bc  ac 8abc  abc (do a  b  c  3)
  4 3 3  abc  ab  bc  ca  Lúc này       2 15 4 12 3 3 3 4 12 9 2 3 8 1 3 6 3 15 6 ( ). abc ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c Suy ra abc đpcm ab bc ca                               Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre năm 2023-2024) Cho số thực x thỏa mãn 0 1 2  x  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 1 2 3 x x A x x      Lời giải Đặt 1 a ,a 2 x   . Khi đó 1 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 3 2 3 2 3 3 1 a a a a a A a a a a                 . Áp dụng bất đẳng thức AM GM cho hai số dương 3 a  2 và 2 3 a  , ta được 3 2 4 16 2 2 2 3 3 3 a A a        . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 5 5 a   x  . Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước năm 2023-2024) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: 2 2 2 4 bc ca ab a b c a b c b c a c a b            . Lời giải Chứng minh được bất đẳng thức 1 1 4 . a b a b    Ta có     1 1 4 1 1 1 2a b c 4 a b a c 4 a b a c                  1 2 4 bc bc bc a b c a b a c              (1) Tương tự, ta có
1 2 4 ac ac ac b a c b c b a             (2) 1 2 4 ab ab ab c a b a c b c             . (3) Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được 1 4 1 . 4 4 bc bc ac ac ab ab VT a b a c b c b a a c b c bc ca bc ab ca ab a b c a b a b a c a c b c b c                                                      Dấu "=" xảy ra  a  b  c. Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2023-2024) Cho a,b,c là các số thực không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 4 ab bc ca a b c b c c a a b            Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ab ab a a b c bc c bc c b               Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 4 a c b a a c b c b                    Tương tự, ta có: 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 4 ab a bc c c b c a ca b a a c c b c b a                                      Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 4 ab bc ca a b c b c c a a b            (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  2 Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng năm 2023-2024) Với a,b,c là ba số thực dương, chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 8 2 14 3 2 8 2 14 3 2 8 2 14 5 a b c a b c a b ab b c bc c a ca            .