A.P.U. “EXITUS” Ciclo 2015 Piura : Calle Arequipa #300 - Telf. 331669/323644 www.academiaexitus.edu.pe Sullana : Calle Leoncio Prado #226 Telf. 501094
[email protected] 2 TEORÍA DE CONJUNTOS 1. IDEA DE CONJUNTO Estimado alumno; en matemática el término conjunto no se define; sólo se concibe como una idea, así podríamos decir que un conjunto es la unión, colección o agrupación de elementos. Al estudiar esta idea nos adentramos al fascinante mundo de la TEORÍA DE CONJUNTOS que es lo que veremos a continuación. 2. Notación de Conjunto Todos los conjuntos se denotan con letras mayúsculas, los elementos se coleccionan por medio de llaves y se separan con puntos y comas. Ejm: A = 1; 2; 3; 4 B = a; e; i; o; u 3. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Un conjunto se puede determinar de dos formas: por comprensión y por extensión. Veamos: Por comprensión o Forma Constructiva Se dice que un conjunto está determinado por comprensión, cuando se nombra una característica común a todos los elementos, por ejemplo: A = {x/ x es una vocal}; B = {x / x > 6 x < 11} Por extensión o Forma Tabular o Enumerativa Por otro lado, se dice que un conjunto está determinado por extensión, cuando se le nombra a todos sus elementos. De los ejemplos anteriores: A = {a; e; i; o; u}; B = {7; 8; 9; 10} Cuando tenemos un conjunto determinado por comprensión se debe observar correctamente las condiciones y la respectiva regla de definición de los elementos para así poder obtener luego al conjunto por extensión. Ejemplo 1 Determinar por extensión al conjunto. A = {x /x x 7} Solución En este caso, lo primero que debemos observar son las condiciones; esto es: x x 7; ¿cuáles son los números naturales menores o iguales a 7? Sabemos que son el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y como de los elementos de A nos indican que son las “x” que satisfacen estas condiciones diremos: que el conjunto A determinado por extensión es: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Ejemplo 2 Determinar por extensión al conjunto B = {(x2 – 1) / x ; x 4} Solución Recuerda; primero tenemos que evaluar las condiciones; esto es: x ; x 4; así: x = {1, 2, 3, 4} Ahora que ya sabemos cuales son los valores de “x” debemos reemplazarlo uno por uno en la forma del elemento: (x2 – 1) cuidando que además nos indican que estos elementos tienen que ser números naturales: así: x = 1 1 2 – 1 = 0 x = 2 2 2 – 1 = 3 x = 3 3 2 – 1 = 8 x = 4 4 2 – 1 = 15 Luego los elementos del conjunto A son: A = {3; 8; 15} 4. CLASES DE CONJUNTOS 4.1. Conjunto unitario Se denomina conjunto unitario a aquel que posee un solo elemento. Al conjunto unitario también se le llama SINGLETON. Ejemplos: A = {x / 4 < x 5} = {5} B = {x /x ; x2 – 1 = 0} = {1} C = {2, 2, 2} = {2} NOTA Del conjunto C podemos deducir que si: A = {x + 4; 7} es un conjunto unitario; entonces x + 4 = 7 x = 3; así A = {7, 7} = {7} 4.2. Conjunto vacío Es aquel conjunto que no posee elementos. También se le suele llamar conjunto nulo. Se le denota por ó { }. Ejemplo: A = B = {x / x ; x2 < 0} = C = {x / x + 4 = 3} = D = {x / x ; 5 < x < 6} = 4.3. Conjunto finito Es aquel conjunto que tiene un número limitado de elementos. A = {x -5 x 100} = {-5, -4, ..., 100} Aquí algunos ejemplos para determinar un conjunto por comprensión.
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