Nội dung text Chương 4_Bài 10_ _Lời giải_Toán 10_KNTT.pdf
BÀI 10. VEC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TỌA ĐỘ VECTƠ Với mỗi vectơ u trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số xo ; yo sao cho o o u x i y j . Ta nói vectơ u có tọa độ xo ; yo và nếu u xo ; yo hay u xo ; yo . Các số ; o o x y tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của u . Nhận xét. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ. ; ' ; x x u x y u x y y y 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ Cho hai vectơ u x; y và v x; y . Khi đó u v x x; y y u v x x; y y ku=kx; ky với k Nhận xét. Vectơ v x; y cùng phương với vectơ u x; y 0 khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x kx, y ky ( hay là x y x y nếu xy 0). Nếu điểm M có tọa độ x; ythì vectơ OM có tọa độ x; y và có độ dài 2 2 OM x y Nhận xét. Với u x; y , ta lấy điểm M x; ythì u OM . Do đó 2 2 u OM x y . Chẳng hạn, vectơ u 2;1 có độ dài là 2 2 u 2 1 5 . Với hai điểm M x; y và N x; y thì MN x x; y y và khoảng cách giữa hai điểm M , N là 2 2 MN MN x x y y . Chú ý: Trung điềm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là ; 2 2 A B A B x x y y . Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là ; 3 3 A B C A B C x x x y y y B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm M (1;3), N(4;2) a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM ,ON, MN . b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân. Lời giải a) Ta có: M (1;3) và N(4;2) OM (1;3),ON(4;2), MN (4 1;2 3) (3;1) 2 2 OM | OM | 1 3 10 , 2 2 ON | ON | 4 2 2 5 2 2 MN | MN | 3 (1) 10 b) Dễ thấy: OM 10 MN OMN cân tại M . Lại có: 2 2 2 OM MN 10 10 20 ON
Theo định lí Pythagore đảo, ta có OMN vuông tại M . Vậy OMN vuông cân tại M . Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a 3i 2 j,b (4;1) và các điểm M (3;6), N(3;3). a) Tìm mối liên hệ giữra các vectơ MN và 2a b . b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không? c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành. Lời giải a) Ta có: b (4;1) và a 3i 2 j a(3;2) 2a b (2.3 4;2.(2) (1)) (2;3) Lại có: M (3;6), N(3;3) MN (3 (3);3 6) (6;9) Dễ thấy: (6;9) 3.(2;3) MN 3(2a b) b) Ta có: OM (3;6) ( do M (3;6)) và ON (3;3) (do N(3;3)) . Hai vectơ này không cùng phương (vì 3 6 3 3 ). Do đó các điểm O, M , N không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng. c) Các điểm O, M , N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi OM PN . Do OM (3;6), PN (3 x;3 y) nên 3 3 6 6 3 9 x x OM PN y y Vậy điểm cần tìm là P(6;9) . Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A(1;3), B(2;4),C(3;2). a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B,C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB . c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm của tam giác ABD . Lời giải a) Ta có: AB (2 1;4 3) (1;1), AC (31;2 3) (4;1) Hai vectơ này không cùng phương (vì 1 1 4 1 ). Do đó các điểm A, B,C không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng. b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là 1 2 3 4 3 7 ; ; 2 2 2 2
A có tọa độ (3;3) B có tọa độ (3;1) C có tọa độ (2;0) D có tọa độ (0;0) E có tọa độ (0;4) F có tọa độ (2;4) Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí A(3;3), B(3;1),C(2;0), D(0;0), E(0;4), F(2;4) . C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u +v, u -v, k u 1. Phương pháp. Dùng công thức tính tọa độ của vectơu +v, u -v, k u Với u = (x;y) ;u ' = (x ';y ') và số thực k, khi đó u ± v = (x ± x ';y ± y ') và k.u = (kx;ky) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: a = ( 3; 2) b = ( - 1;5) c = ( - 2;-5) Tìm tọa độ của vectơ sau a) u + 2v với u = 3i - 4j và v = pi b) k = 2a + b và l = -a + 2b + 5c Lời giải a) Ta có u + 2v = 3i - 4j + pi = (3 + p )i - 4j suy ra u + 2v = (3 + p;-4) b) Ta có 2a = (6;4) b = (-1;5) suy ra k = (6 - 1;4 + 5) = (5;9) ; -a = (-3;-2), 2b = (-2;10) và 5c = (-10;-25) suy ra l = (-3 - 2 - 10;-2 + 10 - 25) = (-15;-17) Ví dụ 2: Cho a = (1;2), b = (-3;4) ; c = (-1;3) . Tìm tọa độ của vectơ u biết