Nội dung text Chương 4 - BĐT qua các đề thi Olympic - Năm học 2016 - 2017.doc
Chương Bốn BĐT QUA CÁC ĐỀ THI OLYMPIC Năm học 2016 – 2017 2.1 Các kỳ thi Olympic khu vực Bài 201 (Olympic chuyên KHTN). Cho ,,abc là các số thực dương sao cho 1.abc Chứng minh rằng: 222 222 1. 111 abc caaaca abbcca Bài 202 (Olympic 30/3 – Khối 10). Cho ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng: 4442222727272.abcabc bccaab Bài 203 (Trại hè Hùng Vương lần XII Bắc Giang – Lớp 10). Với ba số thực ,,abc thỏa mãn 0.abbcca Chứng minh rằng: 222 41 . 4 abcabcabc abbccaabbccaabbcca Bài 204 (Trại hè Hùng Vương lần XII Bắc Giang – Lớp 11). Với ba số thực không âm ,,xyz có tổng bằng 3. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau: 323232222 444. 333Pxxyyzz Bài 205 (Gặp gỡ Toán học – Khối 11 & 12). Cho ,,abc là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 33263.abcabcabbcca Bài 206 (Gặp gỡ Toán học – Khối 10). Cho ABC có độ dài các cạnh không vượt quá 1. Gọi ,,pRr lần lượt là nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp của ABC . Chứng minh rằng: 121.pRr 2.2 Các kỳ thi Olympic Quốc gia, Quốc tế Bài 207 (Azerbaijan Balkan TST). Cho ,,abc là các số không âm. Chứng minh rằng: 22222223.abcabcabbccaabbccaabc Bài 208 (Russia national – Grade 11). Với ,,,abcd là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 33333333 11111 . abcdabcd Bài 209 (Bulgaria National Olympiad). Với ,,,abcd là các số thực dương. Chứng minh rằng: 34 4 .... 4234 aababcabcdababcabcd a Bài 210 (Canadian MO). Với ,,abc là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 222 2222.abc bccaba
Bài 211 (Canadian MO). Với ,xy là các số thực. Chứng minh rằng: 22114110.xyxy Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 212 (Iran MO – 2nd). Với ,xy là các số thực dương thỏa mãn 44.xyxy Chứng minh rằng: 664. 3 xy xy xy Bài 213 (Iran MO – 3rd). Với ,,,abcd là các số thực dương thỏa mãn 2222 4.abcd Chứng minh rằng: 33222224.abcdabcdabbccddaacbd Bài 214 (Iran TST). Với ,,,abcd là bốn số thực dương có tổng bằng 2. Chứng minh rằng: 2211 44. 11 acbdabcd adbcacbdcdab Bài 215 (Iran MO – 3 rd round finals). Với ,,abc là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 222 2 . 111 abbcca abcabbcca Bài 216 (Iran TST – day 1). Với ,,,abcd là các số thực dương thỏa mãn: 1111 2. 1111abcd Chứng minh rằng: 2222111138. 2222 abcd abc Bài 217 (Hong Kong TST). Với ,,abc là các số thực dương có tích bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 333 333 888 .abc P abcbaccba Bài 218 (Kosovo MO). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 1. 3 abcabbcca bcacab Bài 219 (Macedonian MO). Với ,,xyz là các số thực thỏa mãn 1.xyz Chứng minh rằng: 222222 444 222111.zxyxyz xyz yzxyzx Bài 220 (Serbia MO). Với ,,abc là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 2222121212.abbccaabc Bài 221 (Spain MO). Với ,,abc là các số thực dương thỏa mãn 1 . 3abc Tìm GTLN của biểu thức:
222 27222.Pabcaabcbbcaccab Bài 222 (USA MO). Với ,,,abcd là các số thực không âm có tổng bằng 4. Tìm GTNN của biểu thức: 3333. 4444 abcd bcda Bài 223 (19 th Hong Kong MO). Với ,ab là hai số thực dương. Tìm GTNN của 0 để BĐT sau luôn đúng: 221. 22 abab ab Bài 224 (Germany MO). Với ,,xyz là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 1. 1118 xyz yzzxxy Bài 225 (Junior Balkan MO). Với ,,xyz là các số nguyên dương khác nhau đôi một. Chứng minh rằng: 29.xyzxyyzzxxyz Bài 226 (Moldova JTST). Với ,,abc là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 26.abc bccaab Bài 227 (Mediterranean MO). Với ,,xyz và ,,abc là các số thực dương thỏa mãn 1.abc Chứng minh rằng: 3332222222221. 2229 abc xyz xyyzzx Bài 228 (Kazakhstan MO). Với 1 ,, 2xyz thỏa mãn 222 1.xyz Chứng minh rằng: 111111 2. xyzxyz Bài 229 (48 th Austrian MO – Regional Competition). Với 129,,...,xxx là các số thực dương thỏa mãn: 222 129...25.xxx Chứng minh rằng tồn tại 3 số trong 9 số trên có tổng không bé hơn 5. Bài 230 (48 th Austrian MO – Regional Competition). Xác định giá trị lớn nhất M của xyz với ,,xyz là các số thực dương thỏa mãn: 2216.xyzxyxz Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ba ;;xyz sao cho xyzM và 2216.xyzxyxz Bài 231 (Israel Autumn TST). Với ,,abc là các số thực dương thỏa mãn 21.abbccaabc Chứng minh rằng: 42.abc Bài 232 (Junior Balkan MO). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng:
222 222 888888 . 333444abc abcababcbcabcacabc Bài 233 (Mediterranean MO). Với ,,abc là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 4 222 31 . 3332 bbb abcabc Bài 234 (Philippines MO). Với n là số nguyên dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3214 12 2. 1 n in ii Bài 235 (Taiwan TST Round 2). Với ,xy là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 2332222.xyxy xyxyxyxy Bài 236 (Taiwan TST Round 3). Với ,,xyz là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của k sao cho BĐT sau luôn đúng: 222222 3. 111 xyyzzx kxyz zxy