Nội dung text Chương 4_Bài 9_ _Lời giải.pdf
BÀI 9. PHÉP NHÂN VE TƠ VỚI MỘT SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ Tích của một vectơ a 0 với một số thực k 0 là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng hướng với a và có độ dài bằng k a . Tích của một vectơ a 0 với một số thực k 0 là một vectơ, kí hiệu là ka , ngược hướng với a và có độ dài bằng k a . Chú ý: Ta quy ước ka 0 nếu a 0 hoặc k 0 . Nhận xét: Vectơ ka có độ dài bằng k a và cùng hướng với a nếu k 0 , ngược hướng a nếu a 0 và k 0 . 2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ Với hai vectơ a , b và hai số thực k,t, ta luôn có: k ta kt a ; k a b ka kb ; k a b ka kb ; k t a ka ta ; 1a a ; 1 a a . Nhận xét: Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB 0 . Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0 . Chú ý: Mọi vectơ u đều biển thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ a,b , nghĩa là có duy nhất cặp số x; y sao cho u xa yb . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 11. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Hãy biểu thị AM theo hai vectơ AB và AD Lời giải Từ M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AD tại E . Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành.
Do đó: AM AB AE . Dễ thấy: 1 1 2 2 AE BM BC AD 1 1 2 2 1 2 Vaäy AE AD AM AB AD AM AB AD Câu 12. Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB,CD . Chứng minh BC AD 2MN AC BD Lời giải Ta có: MN MA AD DN Mặt khác: MN MB BC CN 2MN MA AD DN MB BC CN 2MN (MA MB) (DN CN) BC AD 2MN 0 0 BC AD 2MN BC AD Tương tự ta cũng có MN MA AC CN MN MB BD DN 2MN MA AC CN MB BD DN 2MN (MA MB) (CN DN) AC BD 2MN 0 0 AC BD 2MN AC BD Vậy BC AD 2MN AC BD . Câu 13. Cho hai điểm phân biệt A và B . a) Hãy xác định điểm K sao cho KA 2KB 0 . b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có 1 2 3 3 OK OA OB . Lời giải
a) Cách 1: Ta có: KA 2KB 0 KA 2KB Suy ra vecto KA và vecto KB cùng phương, ngược chiều và KA 2.KB K, A, B thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: KA 2.KB Cách 2: Ta có: KA 2KB 0 (KB BA) 2KB 0 3KB BA 0 3.KB AB 1 3 KB AB Vậy K thuộc đoạn AB sao cho 1 3 KB AB . b) 1 2 1 2 ( ) ( ) 3 3 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3 1 ( 2 ) 3 1 0 3 Ñeå OK OA OB OK OK KA OK KB OK OK OK KA KB OK OK KA KB OK OK OK OK Hiển nhiên đúng với mọi điểm O. Vậy với mọi điểm O, ta có 1 2 3 3 OK OA OB . Câu 14. Cho tam giác ABC a) Hãy xác định điểm M để MA MB 2MC 0 b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có OA OB 2OC 4OM Lời giải a) Ta có: MA MB 2MC 0 MA (MA AB) 2(MA AC) 0 MA (MA AB) 2(MA AC) 0 4MA AB 2AC 0 4AM AB 2AC 1 1 4 2 AM AB AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho 1 1 ; 4 2 AD AB AE AC