Nội dung text 29. ( CHUYÊN ) BAN TỰ NHIÊN - NAM ĐỊNH.Image.Marked.pdf
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: TOÁN (Chung) - Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức P 2024 2 2023 2025 2 2024 . 2) Tìm tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng y x 1 với trục Oy . 3) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 2 cm. 4) Tính thể tích của hình nón có đường sinh bằng 10cm và bán kính đáy bằng 6cm . Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức 2 1 1 . 1 1 1 1 x x P x x x x x x (với x 0 và x 1). 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Tìm x để 1 3 P . Câu 3: (2,5 điểm) 1) Cho phương trình 2 x 2m 1 x 4m 2 0 1 (với m là tham số). a) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi 1 2 x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1 . Tìm tất cả giá trị của m để 1 2 x , x là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 13 . 2) Giải phương trình 6 2x 5 4 x 2 3x 20 . Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC nội tiếp đường tròn tâm O , AD là đường cao. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của D trên AB , AC . 1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và AE.AB AF.AC . 2) Gọi AP là đường kính của đường tròn O . Chứng minh AP vuông góc với EF . 3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai T . Gọi K là trực tâm của tam giác BTC . Chứng minh tam giác HKT vuông tại H . Câu 5: (1,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 2 2 4 3 2 3 2 2 1 3 2 3 x y y x x x y x . 2) Xét hai số thực dương x , y thỏa mãn 6x y 2xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 42 P 3x x y x x y .
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Nội dung Điểm 1) Tính giá trị biểu thức P 2024 2 2023 2025 2 2024 . 2 2 P 2023 1 2024 1 0,25 2023 1 2024 1 2023 2024 . 0,25 2) Tìm tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng y x 1 với trục Oy . Tọa độ giao điểm là M 0;1. 0,5 3) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 2 cm. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Từ giả thiết ta có 2R 2 2 R 2 . 0,25 Vậy diện tích của hình tròn là 2 2 S R 2 cm . 0,25 4) Tính thể tích của hình nón có đường sinh bằng 10cm và bán kính đáy bằng 6cm . Gọi h là chiều cao của hình nón. Từ giả thiết ta có 2 2 h 10 6 h 8 . 0,25 Câu 1: (2,0 điểm) Vậy thể tích của hình nón là 1 2 1 2 3 .6 .8 96 3 3 V R h cm . 0,25 Cho biểu thức 2 1 1 . 1 1 1 1 x x P x x x x x x (với x 0 và x 1). 1) Rút gọn biểu thức P . 2 1 1 1 . 1 1 1 x x x x x P x x x x 0,25 2 1 1 . 1 1 1 x x x x x x x x x 0,25 2 1 1 . 1 1 1 x x x x x 0,25 1 x x 1 . 0,25 2) Tìm x để 1 3 P . 1 1 1 2 0 3 1 3 P x x x x 0,25 Câu 2: (1,5 điểm) 1 1 2 x x l x . 0,25
1) Cho phương trình 2 x 2m 1 x 4m 2 0 1 (với m là tham số). a) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. Ta có 2 2 2m 1 4 4m 2 4m 12m 9. 0,25 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 3 0 2 m . 0,25 b) Gọi 1 2 x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1 . Tìm tất cả giá trị của m để 1 2 x , x là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 13 . Với 3 2 m thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x 2, x 2m 1. 0,25 Vì 1 2 x , x là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên 1 2 1 0 2 m m . 0,25 Ta có 2 2 2 2 2 1 2 x x 13 2 2m 1 13 m m 2 0 0,25 1 2 m l m tm . Vậy m 2 . 0,25 2) Giải phương trình 6 2x 5 4 x 2 3x 20 . Điều kiện: x 2 . 0,25 Phương trình trở thành 2x 5 6 2x 5 9 x 2 4 x 2 4 0 2 2 2x 5 3 x 2 2 0 0,25 2 5 3 0 2 2 0 x x 0,25 Câu 3: (2,5 điểm) 2 2 2 2 0 x x tm x . Vậy nghiệm của phương trình là x 2 . 0,25 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC nội tiếp đường tròn tâm O , AD là đường cao. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của D trên AB , AC .
1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và AE.AB AF.AC . Ta có AED 90 , AFD 90 0,25 Xét tứ giác AEDF có AED AFD 90 90 180 suy ra tứ giác AEDF nội tiếp. 0,25 Trong tam giác vuông ABD có DE là đường cao suy ra 2 AE.AB AD 1 . 0,25 Trong tam giác vuông ACD có DF là đường cao suy ra 2 AF.AC AD 2 . Từ (1) và (2) ta có AE.AB AF.AC . 0,25 2) Gọi AP là đường kính của đường tròn O . Chứng minh AP vuông góc với EF . Do . . AE AF AE AB AF AC AC AB , mà BAC chung Suy ra AEF ∽ ACB 0,25 AEF ACB 0,25 Ta có BAP BCP 0,25 Suy ra AEF BAP ACB BCP ACP 90 Vậy AP vuông góc với EF . 0,25 3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai T . Gọi K là trực tâm của tam giác BTC . Chứng minh tam giác HKT vuông tại H . Ta có AH BC , TK BC AH TK . 0,25 Do BH AC , PC AC BH PC . Do CH AB , PB AB CH PB . Suy ra tứ giác BHCP là hình bình hành. Gọi I là trung điểm BC , ta có 1 2 OI AH . 0,25 Tương tự 1 2 OI TK AH TK . 0,25