Title 29. ( CHUYÊN ) BAN TỰ NHIÊN - NAM ĐỊNH.Image.Marked.pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: TOÁN (Chung) - Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức P  2024  2 2023  2025  2 2024 . 2) Tìm tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng y  x 1 với trục Oy . 3) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 2 cm. 4) Tính thể tích của hình nón có đường sinh bằng 10cm và bán kính đáy bằng 6cm . Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức 2 1 1 . 1 1 1 1 x x P x x x x x x                (với x  0 và x  1). 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Tìm x để 1 3 P  . Câu 3: (2,5 điểm) 1) Cho phương trình     2 x  2m 1 x  4m  2  0 1 (với m là tham số). a) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi 1 2 x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1 . Tìm tất cả giá trị của m để 1 2 x , x là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 13 . 2) Giải phương trình 6 2x  5  4 x  2  3x  20 . Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC nội tiếp đường tròn tâm O , AD là đường cao. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của D trên AB , AC . 1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và AE.AB  AF.AC . 2) Gọi AP là đường kính của đường tròn O . Chứng minh AP vuông góc với EF . 3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai T . Gọi K là trực tâm của tam giác BTC . Chứng minh tam giác HKT vuông tại H . Câu 5: (1,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 2 2 4 3 2 3 2 2 1 3 2 3 x y y x x x y x                  . 2) Xét hai số thực dương x , y thỏa mãn 6x  y  2xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2 2 1 42 P 3x x y x x y       .
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Nội dung Điểm 1) Tính giá trị biểu thức P  2024  2 2023  2025  2 2024 .     2 2 P  2023 1  2024 1 0,25  2023 1  2024 1  2023  2024 . 0,25 2) Tìm tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng y  x 1 với trục Oy . Tọa độ giao điểm là M 0;1. 0,5 3) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 2 cm. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Từ giả thiết ta có 2R  2 2  R  2 . 0,25 Vậy diện tích của hình tròn là   2 2 S   R  2 cm . 0,25 4) Tính thể tích của hình nón có đường sinh bằng 10cm và bán kính đáy bằng 6cm . Gọi h là chiều cao của hình nón. Từ giả thiết ta có 2 2 h  10  6  h  8 . 0,25 Câu 1: (2,0 điểm) Vậy thể tích của hình nón là   1 2 1 2 3 .6 .8 96 3 3 V   R h     cm . 0,25 Cho biểu thức 2 1 1 . 1 1 1 1 x x P x x x x x x                (với x  0 và x  1). 1) Rút gọn biểu thức P .        2 1 1 1 . 1 1 1 x x x x x P x x x x            0,25    2 1 1 . 1 1 1 x x x x x x x x x            0,25      2 1 1 . 1 1 1 x x x x x       0,25 1 x x 1    . 0,25 2) Tìm x để 1 3 P  . 1 1 1 2 0 3 1 3 P x x x x          0,25 Câu 2: (1,5 điểm)   1 1 2 x x l x          . 0,25
1) Cho phương trình     2 x  2m 1 x  4m  2  0 1 (với m là tham số). a) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. Ta có     2 2   2m 1  4 4m  2  4m 12m  9. 0,25 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 3 0 2    m  . 0,25 b) Gọi 1 2 x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1 . Tìm tất cả giá trị của m để 1 2 x , x là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 13 . Với 3 2 m  thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x  2, x  2m 1. 0,25 Vì 1 2 x , x là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên 1 2 1 0 2 m    m  . 0,25 Ta có   2 2 2 2 2 1 2 x  x 13  2  2m 1 13  m  m  2  0 0,25     1 2 m l m tm        . Vậy m  2 . 0,25 2) Giải phương trình 6 2x  5  4 x  2  3x  20 . Điều kiện: x  2 . 0,25 Phương trình trở thành 2x  5  6 2x  5  9   x  2  4 x  2  4  0         2 2  2x  5  3  x  2  2  0 0,25 2 5 3 0 2 2 0 x x           0,25 Câu 3: (2,5 điểm)   2 2 2 2 0 x x tm x           . Vậy nghiệm của phương trình là x  2 . 0,25 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC nội tiếp đường tròn tâm O , AD là đường cao. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của D trên AB , AC .
1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và AE.AB  AF.AC . Ta có AED  90 , AFD  90 0,25 Xét tứ giác AEDF có AED AFD  90  90 180 suy ra tứ giác AEDF nội tiếp. 0,25 Trong tam giác vuông ABD có DE là đường cao suy ra   2 AE.AB  AD 1 . 0,25 Trong tam giác vuông ACD có DF là đường cao suy ra   2 AF.AC  AD 2 . Từ (1) và (2) ta có AE.AB  AF.AC . 0,25 2) Gọi AP là đường kính của đường tròn O . Chứng minh AP vuông góc với EF . Do . . AE AF AE AB AF AC AC AB    , mà BAC chung Suy ra AEF ∽ ACB 0,25  AEF  ACB 0,25 Ta có BAP  BCP 0,25 Suy ra AEF  BAP  ACB  BCP  ACP  90 Vậy AP vuông góc với EF . 0,25 3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai T . Gọi K là trực tâm của tam giác BTC . Chứng minh tam giác HKT vuông tại H . Ta có AH  BC , TK  BC  AH  TK . 0,25 Do BH  AC , PC  AC  BH  PC . Do CH  AB , PB  AB  CH  PB . Suy ra tứ giác BHCP là hình bình hành. Gọi I là trung điểm BC , ta có 1 2 OI  AH . 0,25 Tương tự 1 2 OI  TK  AH  TK . 0,25