Title Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Tính lồi lõm của đồ thị: Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. f gọi là lõm trên K nếu ,,1:,,0fxyfxfyxy f gọi là lồi trên K nếu ,,1:,,0fxyfxfyxy Cho hàm số yfx liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K f lõm trên K ''0,fxxK f lồi trên K ''0,fxxK . Điểm uốn của đồ thị: Điểm 00;Uxfx được gọi là điểm uốn của đường cong :Cyfx nếu tồn tại một khoảng ;ab chứa điểm 0x sao cho một trong 2 khoảng 00;,;axxb thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị. Cho hàm số yfx có đạo hàm cấp 2 một khoảng ;ab chứa điểm 0x . Nếu 0''0fx và ''fx đổi dấu khi x qua điểm 0x thì 00;Uxfx là điểm uốn của đường cong :Cyfx . Chú ý: 1) Nếu .''ypxyrx thì tung độ điểm uốn tại 0x là 00yrx 2) Nếu f lồi trên đoạn ;ab thì GTLN max;fafb 3) Nếu f lõm trên đoạn ;ab thì GTNN min;fafb Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước: Bước 1: Tập xác định - Tập xác định Dℝ - Xét tính chẵn, lẻ nếu có. Bước 2: Sự biến thiên - Tính các giới hạn - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
Trang 2 - Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đúng đồ thị Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: 32,0yaxbxcxda có tâm đối xứng là điểm uốn. Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: 42,0yaxbxca Đường tiệm cận - Đường thẳng 0xx được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số yfx nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:  0000 lim;lim;lim;lim xxxxxxxx fxfxfxfx    - Đường thẳng 0yy được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số yfx nếu 0lim x fxy  hoặc 0lim x fxy  - Đường thẳng ,0yaxba được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị yfx nếu lim0 x fxaxb   hoặc lim0 x fxaxb   . Chú ý: 1) Nếu chia tách được yfxaxbrx và lim0 x rx  thì tiệm cận xiên: yaxb 2) Biểu thức tiệm cận khi 2 : 2 b xxbxcx Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm 3 bước: Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định - Xét tính chẵn, lẻ nếu có Bước 2: Chiều biến thiên - Tính các giới hạn, tìm các tiệm cận - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Trang 3 Bước 3: Vẽ đồ thị - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: axb y cxd    với 0,0cadbc Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ: 20,'0 '' axbxc yaa axb    Chú ý: 1) Từ đồ thị :Cyfx suy ra các đồ thị: yfx bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành yfx bằng cách lấy đối xứng qua trục tung yfx bằng cách lấy đối xứng qua gốc yfx bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì đối xứng qua trục hoành. yfx là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị ở phía bên phải trục tung, rồi lấy đối xứng phần đó qua trục tung. 2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng ,0gxm Đưa phương trình về dạng fxhm trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị :Cyfx . Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị C với đường thẳng yhm . 3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị: :,mCyfxm - Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua: 00000;,,,mMxyCmyfxmm - Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số: 000;mMxyC , 00,myfxmm Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:
Trang 4 0,0,0AmBmAB 2 0,0,0,0AmBmCmABC 0,0,0AmBmAB 2 0,0,0,0AmBmCmABC hoặc 20,40ABAC 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 2.1: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị: a) 3221yxxx b) 4289yxx Hướng dẫn giải a) Dℝ . Ta có 2'341,''64yxxyx 222 ''0;''0;''0 333yxyxyx Vậy điểm uốn 229 ; 337I   , hàm số lồi trên khoảng 2 ; 3     và lõm trên khoảng 2 ; 3     . b) Dℝ . Ta có 32'416,''12160yxxyxx Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên ℝ . Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị: a) 2 23 1 xx y x    b) 21 5 x y x    Hướng dẫn giải a) \1Dℝ . Ta có 2 236 3 11 xx yx xx    Nên 23 612 '1,''0,1 11 yyx xx   ''01;''01yxyx Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ;1 và lõm trên khoảng 1; . b) \5Dℝ . Ta có 23 1122 ',''0,5 55 yyx xx    ''05;''05yxyx Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ;5 và lõm trên khoảng 5; . Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số 21 xa y xx    luôn có ba điểm uốn thẳng hàng. Hướng dẫn giải