Title Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 6 - Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 6 - BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức cơ bản - Bất đẳng thức BECNULI Nếu 1x và 1 thì 11xx Nếu 1x và 01 thì 11xx - Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Nếu 12,,...,0 naaa thì 11 1nn n ii ii aa n  Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: 12... naaa - Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARTZ Với hai dãy số thực: 1212,,...,;,,..., nnaaabbb thì 2 22 111 nnn iiii iii abab      Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi 11,..., nnakbakb - Bất đẳng thức sắp thứ tự Cho hai dãy số tăng 12... naaa và 12... nbbb ( 2n ) Nếu 12,,..., n là một hoán vị của dãy 1,2,...,n thì: 1 111 i nnn iniiii iii ababab     - Bất đẳng thức trung bình lũy thừa Nếu 01, ixin và 0pq thì 11 11 11nnppqp ii ii xx nn     - Bất đẳng thức SHUR Cho ,,0,0abcr thì: 0rrraabacbbabcccacb - Bất đẳng thức CHEBYCHEP Nếu hai dãy: 1212...;... nnaaabbb thì: 111 nnn iiii iii abnab     
Trang 2 - Bất đẳng thức MIN-COP-XKI Với hai dãy: 12,,..., naaa và 12,,..., nbbb thì 222 111 nnn iiii iii abab    Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức: - Nếu yfx có '0y trên K thì fx đồng biến trên K: ;xafxfaxbfxfb Đối với '0y thì ta có bất đẳng thức ngược lại. Việc xét dấu 'y đôi khi phải cần đến '',''',...yy hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,… Nếu ''0y thì 'y đồng biến từ đó ta có đánh giá 'fx rồi fx ,… - Bất đẳng thức có biểu thức dạng fbfa ba   là dùng định lý Lagrange  'fbfafc ba    , sự tồn tại số ;cab hay giá trị 'fc cũng có đánh giá bất đẳng thức. - Bất đẳng thức JENSEN: ;xab và ;1,iaabin Nếu ''0,;fxxab thì  11 11nn ii ii fafa nn     Nếu ''0,;fxxab thì  11 11nn ii ii fafa nn     - Phương pháp tiếp tuyến: Cho n số ia thuộc K có tổng 12... naaanb không đổi. Bất đẳng thức có dạng 12...nfafafanfb . Lập phương trình tiếp tuyến tại xb : yAxB . Nếu fxAxB trên K, dấu bằng xảy ra khi xb . Khi đó 1212......nnfafafaAaaanB AnbnBnAbBnfb Dấu bằng xảy ra khi 12... naaab . Còn nếu fxAxB trên K, dấu bằng xảy ra khi xb thì có ngược lại 12...nfafafanfb . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đối với hàm số yfx trên D. Xét dấu đạo hàm 'y hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN, GTNN. Nếu cần thì đặt ẩn phụ tgx với điều kiện đầy đủ của t. Nếu yfx đồng biến trên đoạn ;ab thì: min fxfa và max fxfb . Ngược lại với hàm nghịch biến.
Trang 3 Nếu yfx liên tục trên đoạn ;ab và '0fx có nghiệm ix thì:   12 12 minmin;;;...; max;;;...; max fxfafxfxfb fxfafxfxfb   Nếu f lồi trên đoạn ;ab thì GTLN ;max fafb và nếu f lõm trên đoạn ;ab thì GTNN ;min fafb . Đối với các đại lượng, chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn tại. Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức: a) 2sintan3xxx với mọi 0; 2x    b) sincos sin yx xy xy với 0,0xy và 5 2 4xy  Hướng dẫn giải a) Hàm số 2sintan3fxxxx liên tục trên nửa khoảng 0; 2    và: 2211'2cos3coscos30 coscosfxxxx xx Do đó hàm số f đồng biến trên 0; 2    nên 00fxf b) Xét hàm số: sintft t với 5 0 4t  Ta có  22 costancossin 'tttttt ft tt   Nếu 0 2t  thì do tan'0ttft . Nếu 2t  thì cos0t và sin0'0tft Nếu 5 4t  thì do cos0;tan'0tttft . Do đó 5'0,0 4ftt  nên f là hàm số nghịch biến trên khoảng 5 0; 4    Từ giả thiết có sin25sin 02 42 xyx xxy xyx    .
Trang 4 Do 0x và 20xy nên từ đó có sin2sin2sin.2cossin2sinxxyxxyxxxyyyx  đpcm (vì 0x và 55 2sin0 48xyyy  ) Bài toán 6.2: Chứng minh các bất đẳng thức a) sin cos,0; 2 x xx x      với mọi 3 . b) 1coscos1,3 1xxx xx    . Hướng dẫn giải a) Khi 0; 2x    thì có 0sinxx nên sin 01x x Suy ra 3 sin cos,0; 2 x xx x     Xét hàm số  3 sin ,0; 2cos x Fxxx x     Ta có 23 3 2cos3cos.cos1 ' 3cos.cos xxx Fx xx   Xét 23231,0;1Gttttt thì 3'40,0;1Gtttt nên Gt nghịch biến do đó 10,0;1GtGt Suy ra '0,0; 2Fxx    nên Fx đồng biến Do đó 00,0; 2FxFx    b) BĐT  2212sin.sin1cos2sin 2121121 x x xxxxxx     221sin.sinsin 212121 x x xxxxx    Vì    21 30 21212 x x xxx      sin21 sin0 2121 x xxx   