Title Bài 2_Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số_Lời giải.docx ✅

BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Cho hàm số ()yfx xác định trên tập hợp D . Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ()yfx trên D nếu ()fxM với mọi x thuộc D và tồn tại 0x thuộc D sao cho 0fxM . Kí hiệu max() D Mfx . Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ()yfx trên D nếu ()fxm với mọi x thuộc D và tồn tại 0x thuộc D sao cho 0fxm . Kí hiệu min() D mfx . Chú ý: Ta quy ước khi chi nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số ()yfx (mà không cho rõ tập hợp D ) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số ()yfx trên tập xác định của nó. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) ()23yfxx trên đoạn [3;1] ; b) 2()1ygxx . Lời giải a) Xét hàm số ()23fxx trên đoạn [3;1] . Với mọi [3;1]x , ta có ()233fxx . Mặt khác (3)3f . Do đó [3;1]min()3fx  . Với mọi [3;1]x , ta có ()235fxx . Mặt khác (1)5f . Do đó [3;1]max()5fx   . b) Xét hàm số 2()1gxx . Tập xác định: [1;1]D . Ta có 0()1gx với mọi [1;1]x . Mặt khác (0)1g và (1)0g . Do đó [1;1]min()0gx  và [1;1]max()1gx   . Nhận xét: Nếu biết đồ thị của hàm số trên tập hợp D , ta có thể xác định được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D . Chẳng hạn: - Dựa vào đồ thị hàm số ()23yfxx trên đoạn [3;1] (Hình 2a), ta thấy với mọi [3;1],()(3)xfxf và ()(1)fxf nên [3;1]min()(3)3fxf  và [3;1]max()(1)5fxf   . - Dựa vào đồ thị của hàm số 2()1ygxx trên đoạn [1;1] (Hình 2 b ), ta thấy với mọi [1;1],()(1)xgxg và ()(0)gxg nên [1;1]min()(1)0gxg  và [1;1]max()(0)1gxg   .
Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên. Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 32()691fxxxx trên nửa khoảng [1;) . Lời giải Ta có: 2()3129fxxx ; ()01fxx hoặc 3.x Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng [1;) : Từ bảng biến thiên, ta thấy [1;)min()(1)17fxf  và hàm số không có giá trị lớn nhất trên [1;) . 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Một cách tổng quát, cho hàm số ()yfx liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trên (;)ab (có thể trừ một số hữu hạn các điểm) và ()0fx chi tại một số hữu hạn các điểm trong (;)ab , ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ()fx trên đoạn [a ; b] theo các bước nhu sau: Bước 1. Tìm các điểm 12;;;nxxx thuộc khoảng (;)ab mà tại đó ()fx bằng 0 hoặc không tồn tại. Buớc 2. Tính 12();;;;;()nfafxfxfxfb . Buớc 3. Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: [;][;]max(),min(). abab Mfxmfx Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 42()89fxxx trên đoạn [1;3] . Lời giải
Ta có: 3 ()416fxxx ; 0 ()02 2 ( không [1;3] ) x fxx x       (1)2;(0)9;(2)7;(3)18.ffff Vậy [1;3]max()(3)18fxf   và [1;3]min()(2)7fxf  . Ví dụ 4. Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (Hình 4a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh ( cm)x với 510x và gấp lại đề tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4 b . Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Thể tích chiếc hộp là: 23()(302)(802)24002204Vxxxxxxx với 510x . Ta có: 2()124402400Vxxx 20 ()0 3Vxx hoặc 30x (loại vì không thuộc [5;10] ; 20200000 (5)7000;;(10)6000. 327VVV    Do đó [5;10] 200000 max() 27Vx khi 20 3x . Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì 20  cm 3x . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5 . Lời giải a) Dựa vào đồ thị ta thấy [1;6][1;6]max()(1)6;min()(5)1fxffxf
b) Dựa vào đồ thị ta thấy [3;3][3;3]max()(1)7;min()(3)(1)1gxggxgg  2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) 3121yxx trên đoạn [1;3] ; b) 3224180400yxxx trên đoạn 3 ; 11; c) 21 2 x y x    trên đoạn 3 ; 7; d) sin2yx trên đoạn 7 0; 12    . Lời giải a) Có 2312;0yxy2x hoặc 2x (loại vì [1;3]x ). Có (1)12;(2)15;(3)8yyy . Vậy [1;3][1;3]min(2)15;max(1)12yyyy  . b) Có 2348180;0yxxy  6x hoặc 10x . Có (3)49;(6)32;(10)0;(11)7yyyy . Vậy [3;11][3;11]min(6)32;max(3)49yyyy . c) Có 22 2(2)(21)5 0,[3;7] (2)(2) xx yx xx    . Có (3)7;y(7)3y . Vậy [3;7][3;7]min(7)3;max(3)7yyyy . d) Có y2cos2x;y0 2x  vì 7 x0; 12     . Có 71 y(0)0;0; 2122yy    Vậy 770;0; 1212 71 min;max(0)0 1222yyyyy          . 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) 3 34yxx trên nửa khoảng [3;2) ; b) 2 2 34 1 xx y x    trên khoảng (1;) . Lời giải a) Có 233;01yxyx hoặc 1x . Bảng biến thiên