Title Chương 5. Các bài toán cực trị về biểu thức một biến.doc ✅

Chương 5 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ BIỂU THỨC MỘT BIẾN 5.1 Giản lược kiến thức cơ bản 1. Để chứng minh giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số A (một hoặc nhiều biến số) là một hằng số m, ta cần chứng minh hai phần: a) Am với mọi giá trị của biến số. b) Tồn tại một bộ giá trị của biến để Am . Kí hiệu minAm . 2. Để chứng minh giá trị lớn nhất của biểu thức đại số A là một hằng số M. Ta cần chứng minh hai phần: a) AM với mọi giá trị của biến số. b) Tồn tại một bộ giá trị của biến để AM . Kí hiệu maxAM . 3. Bất đẳng thức về giá trị trung bình của hai số dương a, b: 22 2 1122 abab ab ab    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab . 4. Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương a, b, c: 3 3abcabc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc . 5. Bất đẳng thức Bunhiakopski cho bốn số thực a, b, x, y: 22222axbyabxy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi aybx . 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối của hai số thực a, b a) abab . b) abab . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu ( .0ab ). 7. Xét hàm số bậc hai 20yaxbxca 2 24 b yax aa     với 2 4bac . a) Nếu 0a thì min 4y a   khi 2 b x a b) Nếu 0a thì max 4y a   khi 2 b x a 8. Đa thức 2nPQm (n là số nguyên dương, m là hằng số). Nếu có biến số để đa thức 0Q thì minPm . 9. Đa thức 2nPMQ (n là số nguyên dương, M là hằng số). Nếu có biến số để đa thức 0Q thì maxPM . 10. Nếu hai số dương a, b có tổng Sab không đổi thì tích Pab lớn nhất khi và chỉ khi ab .
11. Nếu hai số dương a, b có tích Pab không đổi thì tổng Sab nhỏ nhất khi và chỉ khi ab . 5.2 Các bài toán vận dụng 5.2.1 Các bài toán cực trị về đa thức Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây: 1. 245Axx 2. 2235Bxx 3. 2412Cxx 4. 2Dxx Hướng dẫn 1. 221min1AxA khi 2x . 2. 2 34949 2min 488BxB    khi 3 4x . 3. 228min8CxC khi 2x . 4. 2 111 min 244DxD    khi 1 2x . Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau đây: 1. 2 1 46 xx A 2. 2145Bxx 3. 269Cxx 4. 2Dxx Hướng dẫn 1. 2 111 1max1 362636 x AA    khi 1 3x . 2. 2 424 15max1 555BxB    khi 2 5x . 3. 2131max1CxC khi 1 3x . 4. 2 111 max 424DxD    khi 1 2x . Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây: 1. 214Axxxx 2. 216Bxxxx 3. 1357Cxxxx 4. 42615Dxx 5. 632228Exxxx 6. 1231Fxxxx Hướng dẫn 1. Đặt 1txx thì 24min4AttA khi 12xx . 2. Đặt 1uxx thì 26min9BuuB khi 13xx . 3. Đặt 245txx thì 216min64CttC khi 2413xx . 4. 2236min6DxD khi 230x .
5. 223116min6ExxE khi 1x . 6. min0F khi 2310xx . Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau đây: 1. 2245Axx 2. 269Bxx 3. 24124Cxx 4. 4324645Dxxxx 5. 22820Exxxx 6. 224514Fxxxx Hướng dẫn 1. 2 424 25max2 555AxA    khi 2 5x . 2. 2131max1BxB khi 1 3x . 3. 22923max9CxC khi 2230x . 4. 22421max1DxxD khi 1x . 5. Đặt 2 txx thì 22160121966max196EtttE khi 6t . 6. max9F . Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1. 243Axx 2. 432221Bxxxx Hướng dẫn 1. 2221315Axx Có thể biểu diễn 221245Axxx Kết luận min5A khi 1x . 2. 1B khi 0x Khi 22 2 12 021xBxxx xx     . 2 21 10min0BxxB x     khi 1 10x x . Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4432Pxx . Hướng dẫn Nhận thấy: Nếu 432x thì 0P . Nếu 432x thì 0P nên giá trị lớn nhất khi 0P phải lớn hơn giá trị lớn nhất khi 0P . Xét 432x : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm: 44;32xx . Ta có: 444432232256xxxxP . 444 max2563216Pxxx . Bài 7: (Thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Thanh Hóa 2009) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4242363Pxxxx , trong đó biến x thỏa mãn điều kiện 2235xx . Hướng dẫn Đặt 33yxxy .
Bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4422 6Pxyxy trong đó x, y thỏa 22 3 5 xy xy     Từ 22223294236xyxyxyxyxy 222222423654154241xyxyxyxyxy Áp dụng bất đẳng thức 22 2ABAB với 224,52AxyBxy Ta có 22222216252402xyxyxyxy (1) Cộng hai vế của (1) với lượng 222225162xyxy , ta có: 2222222241254241xyxyxyxy  22224422241641xyxyxyxy  22 22 1 3 2 41min415 2 452 1 x xy y PPxy x xyxy y               Vậy min41P khi 1x hoặc 2x . 5.2.2 Các bài toán cực trị về biểu thức chứa căn Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây: 1. 26115Axx 2. 12345Bxxxx Hướng dẫn 1. 2325min25AxA khi 3x . 2. 223135min35BxxB khi 2 310xx . Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau đây: 1. 21421Axx 2. 24Bxx Hướng dẫn 1. 21252max6AxA khi 2x . 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski (Điều kiện: 24x ) Xét 22221.21.41124Bxxxx 2 42max2BBB khi 3x . Có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi: Xét 222242244Bxxxx 2max2BB khi 3x . Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 1. 2224222Axx 2. 221Bxx Hướng dẫn 1. Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski hoặc bất đẳng thức Côsi max6A khi 2224222xx .