Title Chuyên đề 5. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC.doc ✅

Chuyên đề 5. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A. Đặt vấn đề Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là 1 , 2Sah trong đó a là độ dài một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó. Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. Giải Gọi  là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét ACH vuông tại H có .sinCHAC Diện tích ABC là 1 .. 2SABCH Do dó 1 ..sin. 2SABAC Lưu ý: Nếu 0 90, ta có ngay 1 . 2SABAC Như vậy 0 901,sin điều này sẽ học ở các lớp trên. Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có , ,ACmBDn góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng  . Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức 1 sin. 2Smn Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử .BOC Vẽ , .AHBDCKBD Ta có sin;AHOA sinCKOC và .OAOCAC Diện tích tứ giác ABCD là: 11 .. 22 11 ()(OAsinsin) 22 111 sin().sinsin 222    ABDCBDSSSBDAHBDCK BDAHCKBDOC BDOAOCACBDmn   Lưu ý: • Nếu ACBD ta có ngay 11 . 22ACBDmSn • Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác. Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện tích tam giác ABC biết 42, 5, 7.acmbcmccm Giải
Theo định lí côsin ta có: 2222cos.abcbcA Do đó 22242572.5.7.cosA Suy ra 2394 cossin1cos1 5255AAA Vậy diện tích tam giác ABC là: 2114sin.5.7.14 225SbcAcm Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cosA rồi suy ra sin.A Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm cosB rồi suy ra sinB (hoặc tìm cosC rồi suy ra sin)C Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có 12.ACBDcm Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó. Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử 45.AOD Diện tích tứ giác ABCD là: 1122 ..sin45.... 2224SACBDACBDACBD Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 2 . 2 ACBD ACBD    Do đó 22222.692 424 ACBD Scm    Vậy 2max92Scm khi 6.ACBDcm Ví dụ 5. Cho tam giác , 60.ABCA Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 113 ABACAD Giải Ta có 0111 ..sin30.. 222ABDSABADABAD 111 .. sin30... 222ACDSACADACAD 113 ..sin60.. 222ABCSABACABAC Mặt khác ABDACDABCSSS nên 111113 ...... 222222ABADACADABAC Do đó .3ADABACABAC Suy ra ABAC3113 hay. AB.ACADABACAD   Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC. Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 2 7cm Giải Giả sử  ,ABC khi đó  60A và 3 sin 2A Diện tích tam giác ABC là:
2113..sin.4.4.436,92...7. 222SABACAcm Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử ,ABC từ đó suy ra  60,A dẫn tới 3 sin 2A C. Bài tập vận dụng • Tính diện tích 5.1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 5.2. Cho hình chữ nhật , ABCDACa và   045.BAC Chứng minh rằng diện tích của hình chữ nhật ABCD là 21 sin2 2Sa 5.3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho ,.OAOB mn OCOD Chứng minh rằng .AOB COD S mn S 5.4. Tam giác nhọn ABC có , , .BCaCAbABc Gọi diện tích tam giác ABC là S. Chứng minh rằng 222 . 4cot bca S A   Áp dụng với 39, 40, 41abc và  45.A Tính S. 5.5. Cho góc xOy có số đo bằng 45. Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho 8.OAOBcm Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB. 5.6. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho 1 , 4AMAB 11 , . 32BNBCCPCA Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn 1 3 diện tích tam giác ABC. 5.7. Cho đoạn thẳng 5.ABcm Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho 2.OAcm Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE. 5.8. Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng DC và BC. a) Chứng minh rằng ,KAHABC∼ từ đó suy ra .sin;KHACB b) Cho , ABaBCb và 60.B Tính diện tích AHK và tứ giác AKCH. • Chứng minh các hệ thức 5.9. Cho tam giác (),60.ABCABACA Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng: 111 ABACAN 5.10. Cho tam giác ABC vuông tại  .AABAC Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng:  a) 112 AMANAB b) 112 AMANAC 5.11. Cho tam giác 0 ,90.ABCA Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 2cos 112 ABACAD   5.12. Cho góc xOy có số đo bằng 30. Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho OAa . Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C. Tính giá trị của tổng 11 OBOC
5.13. Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình hành. Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành. • Tính số đo góc. Tính độ dài 5.14. Tam giác nhọn ABC có 4,6; 5,5ABcmBCcm và có diện tích là 29,69.cm Tính số đo góc B (làm tròn đến độ). 5.15. Cho hình bình hành , 90.ABCDB Biết 4, 3ABcmBCcm và diện tích của hình bình hành là 2 63.cm Tính số đo các góc của hình bình hành. 5.16. Cho tam giác ABC có diện tích 250, 90.ScmA Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là 1 1 . 2SS Chứng minh rằng 10tan 2DEcm  5.17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết 4,7, 5,3ABcmACcm và 72.A Tính độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười). 5.18. Cho tam giác , 6, 12, 120.ABCABcmACcmA Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. 5.19. Cho tam giác , 5, 7, 8.ABCABcmBCcmCAcm Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. 5.20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết 111 , ABACAD tính số đo góc BAC. HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ 5.1. Xét hình bình hành , 90.ABCDD Vẽ đường cao AH. Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có: .sinAHAD Diện tích hình bình hành ABCD là: ...sin.SCDAHCDAD Vậy ..sin.SADDC 5.2. Xét ABC vuông tại B có coscos; sinsinABACaBCACa Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 2 .cos. sinsincosSABBCaaa 2211 .2sincossin2 22aa 5.3. Tacó 11 .sin; .sin. 22AOBCODSOAOBSOCOD Do đó 1 .sin 2 .. 1 .sin 2 AOB COD OAOB SOAOB mn SOCOD OCOD    5.4. Vì ABC nhọn nên theo định lí côsin ta có 222 2cosabcbcA 222 cos 2 bca A bc   Ta có 222222 cos cot sin2sin4 Abcabca A AbcAS   (vì 1 sin) 2SbcA