Title Chủ đề 4. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM - Soạn bởi Đặng Việt Hùng.Image.Marked.pdf ✅

Chủ đề 4: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số và có u  u  x v  v  x đạo hàm liên tục trên ta có công K thức nguyên hàm từng phần: udv  uv  vdu.   Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I  f  x.g  x dx, trong đó và là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm  f  x g  x số lượng giác, hàm số mũ. Để tính nguyên hàm f  x.g  x dx từng phần ta làm như sau:  – Bước 1. Đặt (trong đó là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số         u f x du f ' x dx dv g x dx v G x              G x g  x) – Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có: f  x.g  x dx  f  x.G x  G x. f ' x dx.   Chú ý: Khi và và là 2 trong 4 hàm I  f  x.g  x dx số: Hàm số logarit, hàm số đa  f  x g  x thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u. Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức) Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ) Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Ví dụ: Nếu là f  x hàm log, g  x là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt     . u f x dv g x dx       Tương tự nếu là f  x hàm mũ, là g  x hàm đa thức, ta sẽ đặt     u g x dv f x dx       Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp.  Dạng 1: I  P xln mx  n dx, trong đó là đa thức.  P x Theo quy tắc ta đặt     ln . u mx n dv P x dx         Dạng 2:   trong đó là đa thức. sin , cos x I P x dx x         P x Theo quy tắc ta đặt   sin . cos u P x x dv dx x             
 Dạng 3:   , trong đó là đa thức ax b I P x e dx    P x Theo quy tắc ta đặt   . ax b u P x dv a dx        Dạng 4: sin . cos x x I e dx x         Theo quy tắc ta đặt sin cos . x x u x dv e dx              B. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) b) c) d) 1I  x sin xdx  3 2 x I  xe dx  2 3 I  x cos xdx  4 I  x ln xdx  Lời giải: a) 1I  x sin xdx  Cách 1: Đặt sin cos u x du dx xdx dv v x            1 I  x sin xdx  x cos x  cos xdx  x cos x  sin x C.   Cách 2: I 1  x sin xdx   xd cos x   x cos x  cos xdx  x cos x  sin x C      b) 3 2 x I  xe dx  Cách 1: Đặt 3 1 3 3 x x du dx u x e dx dv v e               3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 9 3 9 x x x x x x x I  xe dx  xe  e dx  xe  e d x  xe  e C    Cách 2:     3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x I xe dx xd e xe e dx xe e d x xe e C                              c) 2 3 I  x cos xdx  Cách 1: Đặt 2 2 cos sin u x du xdx xdx dv v x           Khi đó 2 2 2 3 I  x cos xdx  x sin x  2x sin xdx  x sin x  2J   Xét J  x sin xdx. Đặt 
cos cos cos sin sin cos u x du dx J x x xdx x x x xdx dv v x                      2 3 I  x sin x  2 x cos x  sin x C. Cách 2:     2 2 2 2 2 3 I  x cos xdx  x d sin x  x sin x  sin xd x  x sin x  2x sin xdx       2 2 2  x sin x  2 xd cos x  x sin x  2x cos x  2 cos xdx  x sin x  2x cos x  2sin x C.   d) 4 I  x ln xdx  Cách 1: Đặt 2 2 2 2 2 4 ln ln ln . ln . 2 2 2 4 2 dx du u x x x x dx x x I x xdx x x C xdx dv x x v                      Cách 2: Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 4 ln ln ln ln ln ln . 2 2 2 2 2 2 4 x x x x x dx x x I x xdx xd x d x x x C x                    Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) b) 2 5 I  x ln xdx    2 6 I  x ln x 1 dx  c) d)   2 7 I  ln x  1 x dx  8 sin x I  e xdx  Lời giải: a) 2 5 I  x ln xdx  Cách 1: Đặt 3 3 3 3 2 2 3 5 ln ln ln . ln . 3 3 3 9 3 dx du u x x x x dx x x I x xdx x C x dx dv x x v                      Cách 2: Ta có   3 3 3 3 3 3 3 2 5 ln ln ln ln ln ln . 3 3 3 3 3 3 9 x x x x x dx x x I x xdx xd x d x x x C x                    b)   2 6 I  x ln x 1 dx  Ta có          2 2 2 2 2 2 2 6 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2 2 2 x x x I x x dx x d x d x                            2 2 2 2 2 2 2 2 2ln 1 ln 1 . ln 1 ln 1 ln 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x dx x x dx x J x x               
Xét         2 2 1 1 1 ln 1 ln 1 1 ln 1 1 1 1 x x J x dx x dx x x dx x x x                                     2 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 2 dx x x x dx x x d x x d x x                                   2 2 2 2 2 2 ln 1 1 2 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2 2 2 2 2 1 2 x x x x x x x x x x d x x x dx x                                     Xét 2 2 2 3 3 3 3ln 1 1 1 2 x x x K dx x dx x x x x                        2 2 2 1 ln 1 ln 1 3 3ln 1 . 2 2 2 2 x x x J x x x x C                        Từ đó ta được       2 2 2 2 2 6 ln 1 1 ln 1 ln 1 3 3ln 1 . 2 2 2 2 2 x x x x x I x x x x C                         c)   2 7 I  ln x  1 x dx  Ngầm hiểu ta có   2 u  ln x  1 x ;v  x       2 2 2 2 7 2 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 x x I x x x xd x x x x x xdx x x                             2 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 . 1 2 1 xdx d x x x x x x x x x x x C x x                    Vậy   2 2 7 I  x ln x  1 x  1 x C. d) 8 sin x I  e xdx  8 sin sin   sin sin  sin cos sin cos   x x x x x x x x I  e xdx  xd e  e x  e d x  e x  e xdx  e x  xd e      sin cos   sin cos cos  sin cos sin x x x x x x x x  e x  xd e  e x  e x  e d x   e x  e x  e xdx        8 8 8 sin cos sin cos sin cos . 2 x x x x x x e x e x e x e x I e x e x I I C               Nhận xét: Trong nguyên hàm chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong 8 I mỗi vòng ta đều nhất quán đặt là hàm u lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được. Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau: