Content text C5 - 2 CUNG VÀ DAY CUA MOT CUNG.docx
CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT CUNG A. KIẾN THỨC 1. Dây và đường kính của đường tròn + Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn + Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Dễ thấy đường kính của đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R * Lưu ý: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. 2. Góc ở tâm, cung và số đo của một cung * Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn + Khi góc AOB không bẹt thì cung nằm trong góc AOB gọi là cung nhỏ. Khi đó cung AmB còn có thể ký hiệu là cung AB . Cung còn lại AnB gọi là cung lớn. Khi AOB bẹt thì mỗi cung AB gọi là nửa đường tròn. + Ta còn nói góc AOB chắn cung AB hay cung AB bị chắn bởi góc AOB . + Số đo của một cung được xác định như sau - Số đo của nửa đường tròn bằng 180 - Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó - Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ có chung hai mút. + Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB . Trên hình vẽ ta có: sđ AmBAOB ; sđ 360AnB + Cung có số đo n còn gọi là cung n . Cả đường tròn được coi là cung 360 . Đôi khi ta cũng coi điểm là cung n + Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo. * Nhận xét: Nếu A là một điểm thuộc cung BAC thì sđ BAC sđ BA sđ AC B. Các dạng toán Dạng 1: So sánh hai đoạn thẳng Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N . Chứng minh rằng MNBC
Lời giải Xét ()O có BC là dây đường kính Suy ra BC là dây lớn nhất của đường tròn Suy ra MNBC . Bài 2: Bạn Mai căng ba đoạn chỉ AB , CD , FE có độ dài lần lượt là 16cm , 14cm và 20cm trên một khung thêu hình tròn bán kính 10cm . Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn. Lời giải Do ABEF , CDEF , 2EFR nên trong 3 dãy trên, dây đi qua tâm của đường tròn là dây EF Bài 3: Cho đường tròn ()O có các dây AB , CD , FE . Cho biết AB và CD đi qua tâm I , FE không đi qua I . Hãy so sánh độ dài AB , CD , FE . Lời giải Ta có AB là đường kính, CD là đường kính, FE là dây cung Nên ABCDEF Bài 4: Trong hình vẽ, so sánh độ dài các đoạn thẳng OC , PQ với AB . Lời giải
Trong đường tròn ()O , AB là đường kính, OC là bán kính, PQ là dây cung không đi qua O Suy ra 2AB OC và PQAB Bài 5: Cho đường tròn đường kính BC . Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và )C nằm trên đường tròn, ta đều có 2BCABACBC . Lời giải Áp dụng BĐT hình học cho ABC ta luôn có BCABAC 1 Vì BC là đường kính của đường tròn nên ABBC 2ACBCABACBC 2 Từ (1) và (2) suy ra 2BCABACBC . Bài 6: Trong một trò chơi, hai bạn Thủy và Tiến cùng chạy trên một đường tròn tâm O có bán kính 20m . Có thời điểm nào dây AB nối vị trí của hai bạn đó có độ dài bằng 41m không? Vì sao? Lời giải Đường tròn tâm O có đường kính 22040m Vì độ dài dây AB không vượt quá độ dài đường kính của đường tròn nên 40AB Vậy không có thời điểm nào dây AB nối vị trí của hai bạn đó có độ dài bằng 41m
Bài 7: Tứ giác lồi ABCD có 90BACBDC . Chứng minh rằng bốn điểm A , B , C , D cùng nằm trên một đường tròn và ADBC Lời giải Gọi O là trung điểm của đoạn BC Tam giác ABC vuông tại A 90BAC nên đường trung tuyến AO bằng nửa cạnh huyền Nghĩa là 2BC OAOBOC Do đó điểm A nằm trên đường tròn ()O đường kính BC . Tương tự, bằng cách xét tam giác BCD ta cũng suy ra điểm D thuộc đường tròn ()O . Vậy AD là một dây (không qua tâm) của đường tròn ()O . Áp dụng địn lí trên ta có ADBC . Bài 8: Cho đường tròn tâm O bán kính 5cmR , dây 8cmAB . Gọi I là điểm trên dây AB sao cho 1cmAI . Kẻ dây CD qua điểm I và vuông góc với dây AB . Chứng minh rằng ABCD Lời giải Vẽ OHAB , OKCD . Suy ra 11 84cm 22HAHBAB Ta có 413cmIHAHAI Áp dụng định lí pythagore vào tam giác vuông BOH , ta có: