Title 8. SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG.doc ✅

1 H. SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG. I. SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG.  Một số kiến thức cần nhớ.  Bài tập vận dụng.  Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh 2;3A , tâm đường tròn ngoại tiếp (6;6)I , tâm đường tròn nội tiếp là (4;5)K . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC . Định hướng: -Phát hiện và chứng minh Theo tính chất tâm đường tròn nội tiếp ta có DBDCDK nên điểm ,BC thuộc đường tròn tâm D bán kính 50DK . -Viết phương trình đường phân giác trong góc A ,phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra tọa độ D. -Viết phương trình đường tròn tâm D , bán kính DK. Suy ra tọa độ ,BC là giao của hai đường tròn. Lời giải. Từ giả thiết ta suy ra phương trình đường phân giác trong góc A là: :10AKxy Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 22(6)(6)25xy Gọi D là giao điểm của phân giác trong với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì tọa độ điểm D phải thỏa mãn hệ phương trình: 22 10 (9;10) (6)(6)25 xy D xy    Theo tính chất tâm đường tròn nội tiếp ta có DBDCDK nên điểm ,BC thuộc đường tròn tâm D bán kính 50DK . Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm ,BC phải thỏa mãn hệ: 22 22 (9)(10)50210 ; 93(6)(6)25 xyxx yyxy     . Hay 2;9,10;3BC hoặc 10;3,2;9.BC  Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại (3;0)A , 2ABAC . Gọi M là trung điểm của AB . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng BC là 18 (;) 55K . Tìm tọa độ các đỉnh ,BC .
2 Định hướng: -Phát hiện và chứng minh KHKA . - Gọi (;)Hxy . Ta có .0AHKH HB AHKH    →→ - Viết phương trình BC, AC. Từ đó suy ra tọa độ điểm C. Lời giải: Từ giả thiết ta suy ra tam giác AMC vuông cân tại A . Mặt khác tứ giác AMKC nội tiếp, ta suy ra 0 45ACMAKM Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC thì 0 45HAKAKM nên tam giác AHK vuông cân tại H . Gọi 18 (;)(3;),(;) 55HxyAHxyKHxy→→ . Ta có  2222 18 34 30 , 55.0 55 111218 ,3 5555 xxyy xy AHKH AHKH xyxyxy              →→ + Nếu 34 ; 55H    thì (1;4)B Khi đó phương trình đường thẳng BC là 310xy  ; phương trình đường thẳng AC là 30.xy Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 311;2 30 xy C xy    + Nếu 1112 ; 55H    tương tự ta tìm được 1341714 ;,;. 5555BC     Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC có phương trình đường trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng chứa cạnh BC lần lượt là 3520xy và 20.xy Đường thẳng qua A, vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là 2;2D . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đỉnh B có tung độ âm. Định hướng :
3 -Gọi M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm của AC và BH, viết phương trình AD. Tìm tọa độ A, K, M. -Chứng minh K là trung điểm của HD, suy ra H. -Tham số hóa tọa độ điểm BC , Từ .0HBACHBACB→→ . Lời giải : Gọi M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm của AC và BH. Ta có phương trình đường thẳng AD: x+y=0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 35201;1 0 xy A xy    Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ 01;1 20 xy K xy    Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 352031 ; 2220 xy M xy     Tứ giác HKCE nội tiếp nên  BHKKCE ,  KCEBDABHKBDK K là trung điểm HD, từ đó suy ra 0;0H Từ ;2BBbCbB , M là trung điểm BC suy ra 3;1Cbb Mà   200;2 .062 33;0 1 bB HBACHBACbb bB    →→ lo¹i Vậy 1;1,0;2,3;1.ABC  Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, BM là đường trung tuyến. Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại 2;1E , trọng tâm tam giác ABC là 2;2.G Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Định hướng: - Phát hiện và chứng minh HG = GE nên G là trung điểm HE suy ra H . -Viết phương trình đường thẳng HE, AB. -Tham số hóa tọa độ A , từ .0HGHAA→→ . -Viết phương trình AF, BC.Suy ra tọa độ điểm B . Tham số hóa C , từ .0ABACC→→ .
4 Lời giải. Gọi AF là đường trung tuyến góc A AFBE Xét tam giác ABE có BMAE G AFBE    là trực tâm tam giác ABE. Ta lại có     90 90 o o HBGHGB EGIGEIHBGGEI HGBEGI         BHGGIEHGGEG là trung điểm HE suy ra 2;3.H +) Phương trình đường thẳng HE: x-2=0. +) Phương trình đường thẳng AB: y-3=0. Giả sử ;3Aa , từ .033;3HGHAaA→→ +) Phương trình đường thẳng AF:x-y=0. +) Phương trình đường thẳng BC: x+y-3=0. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 300;3 30 y B xy    Giả sử 3;Ccc , từ .003;0ABACcC→→ Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là 3;3,0;3,3;0.ABC  Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và CB=CD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho .DEAB Phương trình cạnh :3130BCxy ; phương trình đường chéo :10ACxy . Tìm tọa độ đỉnh A, B biết A có hoành độ nhỏ hơn 3 và 14;1.E Định hướng: -Phát hiện và chứng minh CA = CE. -Tham số hóa tọa độ điểm A, từ CA=CE. Suy ra A. -Nhận xét CE vuông góc AC từ đó suy ra AE vuông góc AB. -Viết phương trình AB, suy ra tọa độ điểm B.