Title 9. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC VUÔNG.doc ✅

1 A. Chủ đề 1. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC. 1. Tam giác vuông.  Bài 06 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp đường tròn tâm I , chân đường cao hạ từ đỉnh C là điểm H . Tiếp tuyến của đường tròn ()I tại ,AC cắt nhau tại M , đường thẳng BM cắt CH tại N . Tìm tọa độ các đỉnh ,,ABC biết 112136 ;,; 5555HN   và điểm 5 0; 2P    thuộc đường thẳng AC . Định hướng : Dựa vào hình vẽ ta thấy bài toán này khá quen thuộc ,giả thiết cho 112136 ;,; 5555HN   Lại có NCH nên ta nhận định N là trung điểm của CH , việc chứng minh tính chất đó hướng ta sử dụng định lí Ta lét vì tiếp tuyến tại A song song với CH . Yếu tố phụ bài toán xuất hiện chính là K giao điểm của BC với tiếp tuyến của đường tròn I tại A . Từ đó bài toán sẽ được giải quyết. Lời giải: Gọi K là giao điểm của BC và tiếp tuyến của đường tròn I tại A . Khi đó ta có: MAMC (tính chất tiếp tuyến) nên MACMCA mà 90;90MKCMACMCKMCA∘∘ . Suy ra MKCMCK , do đó MKC△ cân tại M MCMK . Từ đó suy ra MAMK . Ta có //CHAK nên theo định lí ta let ta có 1NCMK NHNC NHMA hay N là trung điểm của CH . Tọa độ điểm C thỏa mãn  131 2.5 55 5;0 612 2.0 55 C C x C y         Đường thẳng AC đi qua C và P nên có phương trình là 250xy Đường thẳng AB đi qua H và vuông góc với NH nên có phương trình là 220xy Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 25033;4 2204 xyx A xyy    Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AC nên có phương trình 2100xy Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 210022;6 2206 xyx B xyy    .
2 Vậy 3;4,B2;6A và 5;0C .  Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại C . Gọi M là trung điểm cạnh AC , D là điểm thuộc đoạn AB thoả mãn 2DBDA , H là hình chiếu vuông góc của D trên BM . Tìm toạ độ các đỉnh ,,ABC biết 2;4D , 1824 ; 55H    và đỉnh B có hoành độ nguyên.. Định hướng: Dựa vào hình vẽ xác định mối quan hệ thẳng hàng của ba điểm ,,CHD . Bằng phương pháp vec tơ xác định hệ thức vec tơ giữa CH→ và HD→ . Sử dụng tính chất tam giác vuông cân dùng hệ thức lượng ta xác định độ dài cạnh ,BCBC . Lời giải: Đường thẳng DH có phương trình là 260xy . Đường thẳng BM đi qua H và vuông góc với DH nên có phương trình 2120xy Ta có 2DBDA và ,DBDA →→ ngược hướng nên 2DBDA→→ , suy ra 12 33CDCBCA→→→ Và 1 2MBCBCA→→→ . Do đó 2212111 .0 33233CDMBCBCACBCACBCA    →→→→→→→→ (Vì tam giác ABC vuông cân tại C ) nên ,,CHD thẳng hàng và ,CHHD →→ cùng hướng Kẻ //CKACKMB ta có 3 2 CHCMAMAB HDDKDKDB . Suy ra 3 2CHHD→→ . Gọi ;CCCxy ta có 18318 2 6525 624324 4 525 C C C C x x y y            Đặt 2202; 3 a CACBaaABaBD . Áp dụng định lý hàm số Cô-sin cho tam giác BCD có 222222284 2.cos452036 93CDBCBDBCBDaaaa∘ . Gọi ;23Bbb thuộc BM ta có 2222 6 36626365363606 5 b BCbbbb b      Vì B có hoành độ nguyên nên 6;0B . Và 10;6 2DADBA→→ . Vậy 0;6,6;0,6;6ABC .
3  Bài 24. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có 1;2A . Gọi E là chân đường cao hạ từ đỉnh A , F là điểm đối xứng của E qua A và 1;1H là trực tâm tam giác FBC . Tìm toạ độ các đỉnh ,BC biết diện tích tam giác FBC bằng 78 và đỉnh B có hoành độ âm. Định hướng: Phát hiện và chứng minh tính chất: H là trung điểm của AE bằng việc chứng minh H là trực tâm của tam giác APC . Viết được phương trình đường thẳng BC . Tham số hóa tọa độ điểm BC Sử dụng giải thiết ABC vuông tại .0AABAC→→ , kết hợp 78FBCS . Giải tìm được nghiệm có tọa độ ,CB . Lời giải. Gọi P là trung điểm cạnh BE , ta có AP là đường trung bình cuả tam giác BEF . Mặt khác CHFBCHAP . Lại có AHCP nên H là trực tâm tam giác APC . Do đó PHAC , suy ra //PHAB (vì cùng vuông góc với AC ). Vì //PHAB , P là trung điểm của BE nên H là trung điểm của AE . Suy ra 1;41;8EF Đường thẳng BC qua E và vuông góc với AE nên có phương trình 40y Gọi ;4,;4BbCc với 0b . Ta có ; 11 78.78.12.7813(1) 22FBCFBCSdBCbcbc Mặt khác .011(42)(42)01136(2)ABACbcbc→→ . Vì 0b nên từ (2) suy ra 10ccb . Do đó ta có hệ phương trình  10 31136 813 2 b cbc bcb c             Vậy 10;4,3;4BC hoặc 8;4,2;4BC . Bài 38. [Thi thử Quảng Ninh] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có 2ACAB . Điểm 2;2M là trung điểm của cạnh BC . Gọi E là điểm thuộc cạnh AC sao
4 cho 3ECEA , điểm 48 ; 55K   là giao điểm của AM và BE . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm E nằm trên đường thẳng :260dxy . Phân tích và định hướng : Phát hiện và chứng minh BEAM tại K Viết phương trình đường thẳng BEE . Viết phương trình đường thẳng BI B . Lời giải : Kẻ MIAC tại I và BDMI tại D . Khi đó ta có tứ giác AIDB là hình vuông có ,ME lần lượt là trung điểm của ta có BEAM tại K Đường thẳng BE đi qua K và vuông góc với KM nên có phương trình 340xy Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ 26022;2 3402 xyx E xyy    . Ta có ADBI , ME là đường trung bình của tam giác AID Ta có 2;0F là trung điểm của ME Đường thẳng BI có phương trình 0y . Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 3404 00 xyx yy    4;0B Vì 2;2M là trung điểm của BC nên 8;4C Ta có 4BIFI→→ suy ra tọa độ điểm 4;0I là trung điểm của AC nên 0;4A . Kết luận : 0;4,4;0,8;4ABC .  Bài 06. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A có ABAC , 55 ; 22I   là trung điểm của .BC Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho ABMC . Biết 1;1E là trung điểm của AM và C thuộc đường thẳng :240.dxy Xác định tọa độ điểm .A Định hướng: Từ các giả thiết của bài toán ta thấy để giải quyết cần xác định mối quan hệ ba điểm ,,IEC . Dựa vào hình vẽ ta thấy ba điểm không thẳng hàng nên hướng ta cách nghĩ sẽ chứng minh IEC không đổi. Sử dụng tính chất đường trung bình với giả thiết tam giác ABC vuông tại A và ABMC ta có nếu gọi F là trung điểm của BM suy ra được tam giác IEF vuông cân từ đó suy ra 45IEC∘ .